- •5.Разложение на простые дроби. Pn(X)/Qm(X)
- •6.Метод Остроградского.
- •9. Интегралы вида вычисляются при помощи подстановок Эйлера.
- •Окончательно.
- •10.Интегралы вида :
- •11.Рассмотрим функцию f(X), определенную в каждой точке сегмента [a,b].
- •13. Интегрируемость непрерывной функции или кусочно-непрерывной.
- •14. Линейность определённого интеграла.
- •Для того чтобы доказать это равенство сформулируем и докажем лемму:
- •Теорема
- •Следствие 1
- •Следствие 2
- •Следствие 3
- •Следствие доказано
- •Следствие доказано
- •Рассмотрим интегральную сумму
- •16. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
- •Интегрирование по частям, замена переменных в определенном интеграле.
- •17.Формулы прямоугольников и трапеций для приближенного вычисления интегралов. Оценка погрешности.
- •20.Плоской фигурой q называется часть плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой l. При этом кривую l будем называть границей фигуры q.
- •Если рассмотрим обе формулы площадей вместе, получим
- •Площадь плоской фигуры.
- •Площадь криволинейной трапеции
- •Площадь криволинейного сектора
- •Площадь фигуры ограниченной спрямляемой прямой в параметрическом виде
- •Объем тела вращения
- •Площадь поверхности вращения
- •Необходимость
- •Достаточность
- •Замечание
- •Утверждение
- •Доказательство
- •23. Несобственные интегралы 1,2-го рода, сходимость. Сходимость интегралов вида
- •24. Признаки Абеля и Дирихле для несобственных интегралов.
- •25.Признак сходимости (Достаточное условие)
- •26.Числовой ряд. Сходимость и расходимость числового ряда. Необходимый признак сходимости.
- •27. Интегральный признак Коши.
- •28. Признак сравнения для числовых рядов. Предельный признак сравнения.
- •Признак Коши.
- •31.Интегральный признак сходимости числовых рядов.
- •32.Признак Лейбница (не все)
- •33. Абсолютная и условная сходимось.
- •Теорема Если ряд (1) абсолютно сходится и имеет сумму s, то ряд (3) также сходится абсолютно и имеет ту же самую сумму.
- •1. Понятие функциональной последовательности и функционального ряда.
- •2.Сходимость функциональной последовательности в точке и на множестве.
- •3. Понятие равномерной сходимости на множестве.
- •4. Критерий Коши.
- •Доказательство теоремы 1.1.
- •1) Необходимость.
- •2) Достаточность.
- •3.2 Признак Вейерштрасса.
- •Доказательство:
- •3.3 Признаки равномерной сходимости Абеля и Дирихле
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Утверждение
- •Теорема Абеля
- •Аналитическая функция (единственность). Ряд Тэйлора.
- •Утверждение
Утверждение
Пусть ряд (1) имеет радиус сходимости R>0. Прежде всего, можно утверждать, что какое бы положительное число r<R ни взять, ряд (1) будет сходиться равномерно относительно x в замкнутом промежутке [-r,r].
Доказательство:
Действительно, так как r<R, то при x=r ряд (1) сходится абсолютно, то есть сходится положительный ряд:
∞
∑|an|rn = |a0|+|a1|r+ |a2|r2+…+|an|rn+… (2)
n=0
При |x|≤r члены ряда (1) по абсолютной величине не превосходят соответствующих членов этого ряда, который, таким образом, играет роль мажорантного ряда, и, по признаку Вейерштрасса, ряд (1) для указанных значений x сходится равномерно.
Хотя число r и может быть взято сколь угодно близким к R, но из доказанного все же не вытекает равномерная сходимость в промежутке [-R,R].
Теорема Абеля
Если степенной ряд (1) сходится и при х=R (хотя бы и неабсолютно), то сходимость ряда будет необходимо равномерной во всем промежутке [0,R].
Доказательство:
Действительно, если представить ряд (1) в виде
∞ ∞
∑anxn =∑anRn (х/R)n (0≤x≤R),
n=0 n=0
то требуемое заключение непосредственно вытекает из признака Абеля, так как ряд ∑anRn сходится равномерно (так как х-ов нет), а множители (х/R)n образуют монотонную и равномерно ограниченную последовательность
1≥(х/R)≥ (х/R)2≥…≥(х/R)n≥(х/R)n+1≥…
[Признак Абеля: пусть ряд ∑bn(x) сходится равномерно в области Х , а функции an(x) образуют монотонную последовательность и в совокупности – при любых х и n ограничены: |an(x)|≤K. Тогда ряд ∑an(x)bn(x) сходится равномерно в области Х.]
Следствие
Если степенной ряд (1) сходится и при х=R (хотя бы и неабсолютно), то его сумма сохраняет непрерывность и при этом значении х (разумеется, слева), то есть f(x)= ∑anxn непрерывна на [0,R]. Или
∞ ∞
Lim ∑anxn =∑anRn
x→R-0 0 0
3.12
Аналитическая функция (единственность). Ряд Тэйлора.
Функция f(x) называется аналитической, если ее можно представить степенным рядом:
∞
f(x)=∑an(x-x0)ⁿ
n=0
Утверждение
Представление аналитической фкнкции в виде степенного ряда единственно вокруг окрестности данной точки.
Доказательство:
Предположим, что одна и та же функция разлагается двумя способами
∞ ∞
f(x)=∑an(x-x0)ⁿ f(x)=∑сn(x-x0)ⁿ
∞ n=0 n=0
Лемма: пусть дан ряд ∑anxⁿ =Sn(x)+rn(x), тогда rn(x)=о(хn).
n=0
Д-во: докажем, что lim rn(x)/ хn =о
x->0
rn=an+1xn+1+an+2xn+2+….
rn(x)/ хn = an+1x+an+2x2+….
Мы получили степенной ряд, следовательно можно переходить к пределу при х->0: x->0
rn(x)/ хn--->0
Доказана.
a0+a1(x-x0)+ a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n+…= с0+с1(x-x0)+ с2(x-x0)2+…+сn(x-x0)n+…
И правая, и левая части равенства непрерывны, поэтому можно переходить к пределу при х->х0, получим, что с0=а0.
Методом индукции: пусть для n доказано, что все сn’=аn’, где n’≤n.
При n+1 получим:
a0+a1(x-x0)+ …+an(x-x0)n+ an+1(x-x0)n+1+rn+1(an+1,x)= с0+с1(x-x0)+…+сn(x-x0)n+ +сn+1(x-x0)n+1+ rn+1(cn+1,x)
an+1(x-x0)n+1+rn+1(an+1,x)= сn+1(x-x0)n+1+ rn+1(cn+1,x)
an+1+ rn+1(an+1,x)/ (x-x0)n+1= сn+1+ rn+1(cn+1,x)/ (x-x0)n+1
В пределе при х->х0 (по доказанной лемме): сn+1=аn+1.
Доказано.
3.13
Разложение элементарных функций в степенной ряд (ех, sin x, (1+x)m, ln(1+x))
Функцию f(x) можно представить степенным рядом, если она аналитическая (если она разлагается в ряд Тэйлора по степеням х-х0).
∞
f(x)=∑an(x-x0)ⁿ = a0+a1x+ a2x2+…+anxn+… (1), где
n=0
a0= f(x0) a1 =f’(x0) /1! a2 =f’’(x0) /2! … an=f(n)(x0) /n!
Для того чтобы при некотором значении х действительно имело место разложение функции в степенной ряд, в ряд Тэйлора, необходимо и достаточно, чтобы дополнительный член rn(x) формулы Тэйлора – при этом значении х – стремился к 0 с возрастанием n.
rn(x)=f (n+1) (ζ)(x-x0)n+1/(n+1)! –форма Лагранжа, ζ из (х,х0) (2)
rn(x)=f (n+1) (ζ)(x-ζ)n (x-x0)/n! –форма Коши (3)
ех: ех=1+x /1!+ x2 /2!+…+xn /n!+…, (4)
sin x: sin x=x-x3/3!+x5/5!- +(-1)k-1 x2k-1/(2k-1)!+… (5)
ln(1+x): ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…+(-1)n-1 xn/n+… (6)
Ряд сходится лишь для значений х в промежутке (-1;1] (по признаку Даламбера, ряд сходится, если |x|<1, и расходится при |x|>1, при х=-1 получается расходящийся гармонический ряд, при х=1 получаем ряд Лейбница). Значит только для этих значений и имеет смысл исследовать поведение дополнительного члена rn(x).
Возьмем его сначала в форме Лагранжа (2). Так как
f(n+1)(x)=(-1)n ·n!/(1+x)n+1
то rn(x)=(-1)n ·n!/(1+ζ)n+1 · xn+1/(n+1)!=(-1)n ·xn+1/(1+ζ)n+1 ·(n+1)
Если х из[0,1], то последний множитель не превосходит единицы, тогда
|rn(x)|≤1/(n+1) тогда rn(x)→0 (при n→∞)
Но при х<0 поведение этого множителя становится неясным, и приходится прибегнуть к форме Коши дополнительного члена.
rn(x)= )=(-1)n ·n! (x-ζ)n (x-x0)/n!·( 1+ζ)n+1=(-1)n · (x-ζ)n (x-x0)/( 1+ζ)n+1
|rn(x)|≤|x|n+1 /(1-|x|)·1/(1+ζ)n
При х>-1 последний множитель меньше 1, тогда только при |x|<1, заведомо rn(x)→0.
(1+x)m: (1+x)m=1+mx+m(m-1)x2/(1· 2)+…+m(m-1)…(m-n+1)xn/(1· 2 ·…· n)+…, m<>0 (7)
Этот ряд называют биномиальным, а его коэффициенты – биномиальными.
По признаку Даламбера, при |x|<1 ряд сходится абсолютно, а при |x|>1 расходится. Исследование дополнительного члена будем производить в предположении, что |x|<1, причем сразу возьмем его в форме Коши (форма Лагранжа дает ответ не при всех х).
f(n+1)(x)= m(m-1)…(m-n+1)(m-n)(1+x)m-n-1
rn(x)= m(m-1)…(m-n+1)(m-n)(1+ζ)m-n-1 (x-ζ)n (x-x0)/n!
rn(x)= (m-1)…(m-n+1)((m-1)-n+1) / n! · m(x-ζ)n (1+ζ)m-1 · (x-x0)/(1+ζ)n
Первое произведение представляет собой общий член биномиального ряда при показателе m-1, так как при |x|<1 биномиальный ряд сходится, каков бы ни был показатель, то это выражение при а→∞ стремится к нулю. Второй множитель по абсолютной величине содержится между границами
|mx|(1-|x|)m-1 |mx|(1+|x|)m-1
Ни зависящими от n, а третье меньше 1. То есть rn(x)→0 для |x|<1 верно разложение (7)