Раздел 1 Лабораторная работа №1

Задачи линейной алгебры

 Задача 1. Исследуйте и, если решение существует, найдите по формулам Крамера решение системы:

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений, пометив строку Automatic Calculation в меню Math.

2) Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1. Значение этой переменной определяет номер первой строки (столбца) матрицы. По умолчанию в Mathcad нумерация начинается с 0.

3) Введите матрицу системы:

4) Введите столбец свободных членов:

5) Вычислите определитель матрицы системы:

6) Вычислите определители матриц ?i, полученных из матрицы системы заменой i-го столбца столбцом свободных членов:

7) Найдите решение системы по формулам Крамера:

 

Задача 2. Решите как матричное уравнение Ax=b систему линейных уравнений:

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений, пометив строку Automatic Calculation в меню Math.

2) Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.

3) Введите матрицу системы и матрицу-столбец свободных членов:

4) Вычислите решение системы по формуле , предварительно вычислив определитель матрицы системы:

5) Проверьте правильность решения умножением матрицы системы на вектор-столбец решения:

6) Найдите решение системы с помощью функции lsolve и сравните результаты вычислений:

 

Задача 3. Найдите методом Гаусса решение системы линейных уравнений:

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений, пометив строку Automatic Calculation в меню Math.

2) Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1.

3) Введите матрицу системы и матрицу-столбец свободных членов:

4) Сформируйте расширенную матрицу системы, используя функцию augment(A,b), которая формирует матрицу, добавляя к столбцам матрицы системы А справа столбец свободных членов b:

5) Приведите расширенную матрицу к ступенчатому виду, используя функцию rref(Ar), которая приводит расширенную матрицу к ступенчатому виду с единичной матрицей в первых столбцах, т.е. выполняет прямой и обратный ходы метода Гаусса:

6) Сформируйте столбец решения системы, используя функцию submatrix(Ag,1,4,5,5), которая выделяет блок матрицы Ag, расположенный в строках с 1-ой по 4-ый и в столбцах с 5-го по 5-ый (последний столбец):

7) Проверьте правильность решения умножением матрицы системы на вектор-столбец решения:

 

Задача 4. Исследуйте однородную систему линейных уравнений:

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений, пометив строку Automatic Calculation в меню Math.

2) Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1. Значение этой переменной определяет номер первой строки (столбца) матрицы. По умолчанию в Mathcad нумерация начинается с 0.

3) Введите матрицу системы:

4) Вычислите ранг матрицы системы:

5) Приведите матрицу системы к ступенчатому виду:

6) Определив базисные и свободные переменные, запишите полученную эквивалентную систему:

7) Используя функцию Find, решите полученную систему относительно базовых переменных:

8) Запишите общее решение системы:

9) Найдите фундаментальную систему решений:

 

Задача 5. Исследуйте неоднородную систему:

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений, пометив строку Automatic Calculation в меню Math.

2) Присвойте переменной ORIGIN значение, равное 1. Значение этой переменной определяет номер первой строки (столбца) матрицы. По умолчанию в Mathcad нумерация начинается с 0.

3) Введите матрицу системы и матрицу-столбец свободных членов:

4) Сформируйте расширенную матрицу системы:

5) Вычислите ранг основной матрицы и ранг расширенной матрицы системы и сделайте вывод о совместности системы:

6) Приведите расширенную матрицу совместной системы к ступенчатому виду:

7) Определив базисные и свободные переменные, запишите полученную эквивалентную систему и разрешите её относительно базисных переменных:

8) Запишите общее решение:

9) Найдите фундаментальную систему решений:

Лабораторная работа №2

Задачи математического анализа

 

Задача 1. Изобразите кривые спроса и предложения. Найдите равновесную цену.

Функция спроса - .

Функция предложения -

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений.

2) Введите функцию спроса:

3) Введите функцию предложения:

4) Постройте на одном графике кривую спроса и кривую предложения:

5) Найдите графически координаты точки пересечения. Для этого щелкните по строке Trace в пункте Graph меню Format, затем щелкните по полю графиков и установите (стрелками клавиатуры или мышью) маркер (перекрещивающиеся пунктирные линии) в точке пересечения кривых. В окне диалога отображаются координаты маркера: значение координаты x в окне и есть искомое значение количества товара Q, при котром достигается равновесная цена P - значение координаты y в окне.

6) Вычислите равновесную цену P аналитически:

 

Задача 2. Первоначальный вклад, положенный в банк под 10% годовых, составил 6 млн. тенге. Найти размер вклада через 5 лет при начислении процентов

а) ежегодном,

б) поквартальном,

в) непрерывном.

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений.

2) Введите величину вклада:

3) Введите величину процентной ставки:

4) Введите срок вклада:

5) Определите величину вклада через t0 лет при ежегодном начислении процентов с использованием простых процентов:

6) Определите величину вклада с использованием сложных процентов

при ежегодном начислении процентов

при поквартальном начислении процентов

при непрерывном начислении процентов

 

Задача 3. Зависимость между издержками производства y и объемом выпускаемой продукции x выражается функцией (ден. ед.) Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 ед.

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений.

2) Введите объем продукции и заданную функцию:

3) Определите функцию средних издержек (на единицу продукции) и определите средние издержки при объеме продукции x0:

4) Определите функцию предельных издержек и определите предельные издержки при объеме продукциии x0:

5) Изобразите на графике функции:

 

Задача 4. Производительность труда рабочего в течение дня задается функцией (ден. ед./ч), где t - время в часах от начала работы, . Найти функцию , выражающую объем продукции (в стоимостном выражении) и его величину за рабочий день.

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений.

2) Введите время рабочего дня:

3) Введите функцию производительности:

4) Определите функцию объема продукции и его величину за рабочий день:

5) Изобразите график функции f(t) на промежутке [0,T0]:

 Задача 5. Постройте график и изокванты производственной функции

.

Вычислите предельные продукты труда и капитала, а также коэффициент заменяемости ресурсов.

Решение:

1) Установите режим автоматических вычислений.

2) Введите производственную функцию:

3) Постройте график производственной функции и изокванты:

4) Вычислите предельный продукт труда:

5) Вычислите предельный продукт капитала:

6) Вычислите коэффициент заменяемости ресурсов: