- •2.1.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение нелинейного уравнения графическим методом
- •2.2.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение НелинейноГо уравнениЯ МетодОм простых итераций
- •2.3.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение нелинейного уравнения методом касательных
- •2.4.3. Пример.
- •2.4.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение систем Нелинейных уравнений графическим методом
- •2.5.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение систем Нелинейных уравнений методом пРостых итераЦиЙ
- •2.6.3. Пример.
- •2.6.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное интегрирование: метод прямоугольников и трапеций, формула симпсона
- •2.7.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное решение обыкновеНноГо дифференциального уравнениЯ МетодОм эЙлера и рунге-кутта
- •2.8.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное решение систем обыкновеНнЫх дифференциальных уравнениЙ МетодОм эЙлера
2.8.5. Вопросы для самопроверки
1. Что такое предельный переход?
2. Какие этапы имеет метод Рунге-Кутта?
3. Выведите разностную схему метода Эйлера.
Лабораторная работа № 2.9 (С:\USERS\GROUP\NOF\lab9.mcd)
Численное решение систем обыкновеНнЫх дифференциальных уравнениЙ МетодОм эЙлера
2.9.1. Цель работы. Получение практических навыков алгоритмизации и программирования численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера.
2.9.2. Справочный материал. Система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в векторном виде, записывается
A(Х)·X’ + B(Х)·X = F(X); Хa,b; Х0 = CONST, (2.9.1)
где А(Х) и В(Х) – матрицы; X, F(X) – вектор решений и вектор правых частей от векторного аргумента.
Если матрицы А, В и вектор правых частей F не зависят от вектора решения, то такая система дифференциальных уравнений является линейной. Не нарушая общности записи в дальнейшем, аргумент Х будем опускать при рассмотрении систем дифференциальных уравнений
. (2.9.2)
Если обратная матрица А-1 существует, то систему уравнений (2.9.2) можно записать в приведенном виде, умножив на эту матрицу слева обе части векторного уравнения (2.9.2)
, (2.9.3)
где С = А-1 · В; R = A-1 · F.
Разностная схема. Отрезок [a,b] разобьем на N равных частей, т. е. введем равномерную пространственную сетку
a = x0 < x1 < x2 < …< xN-1 < xN = b, (2.9.4)
где N+1- число пространственных узлов; xi = i h; h = (b - a) / N; i = 0 , 1 , .. , N.
Для численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.9.3) воспользуемся неявной разностной схемой
1/h·(Xi+1 – Xi ) + Ci ·Xi+1 = Ri , X0 = const; i = 0, 1, … , N -1. (2.9.5)
Умножив обе части векторного уравнения (2.9.5) на шаг h, приведя подобные члены и явно выражая Xi+1 , получим
Xi+1 = (E + h · Ci)-1 ·(Xi + h · Ri), X0 = const; i = 0, 1, … , N -1, (2.9.6)
где Е – единичная матрица.
2.9.3. Пример. Численно решить приведенную систему обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера
при у0 = 1 и z0 = 1; x0,3. (2.9.7)
В векторном виде система уравнений записывается в виде (2.9.2),
где Х = ; С = ; R = .
Рис. 2.9.1. Пространственное распределение величин уi (сплошная кривая) и zi
2.9.4. Задание. Самостоятельно задать матрицу С и вектор правых частей R и численно решить полученную приведенную систему обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера.
2.9.5. Вопросы для самопроверки
1. Какие системы дифференциальных уравнений являются приведенными?
2. В чем заключается отличие неявных разностных схем от явных?
3. Какие явные или неявные разностные схемы используются при численном решении приведенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера?
Литература к главе 2
1. Бобарыкин Н.Д. Лабораторный практикум по основам алгоритмизации и программирования: методические указания к лабораторным работам в системе MATHCAD по дисциплине «Информатика» для инженерно-технических специальностей / Н.Д. Бобарыкин, Н.А. Боровикова и др. – Калининград: КГТУ, 1999.- 69 с.
2. Волков Е.А. Численные методы / Е.А. Волков. - М.: Наука, 1982 .
3. Информатика. Базовый курс: учеб. пособие / под ред. С.В.Симоновича. - 2-е изд. – СПб.: Питер, 2004. - 639 с.
4. Практикум по информатике: учеб. пособие /А.А. Землянский, Г.А. Кретова и др.; под ред. А.А. Землянского. – М.: КолосС, 2004. – 384 с.
5. Безручко В.Т. Практикум по курсу «Информатика». Работа в Windows, Word, Exel: учеб. пособие / В.Т. Безручко. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 272 с.
6. Николь Н. EXEL 5.0. Электронные таблицы / Н. Николь, Р.Альбрехт. - М.: «ЭКОМ», 1997.- 343 с.
7. Персональный IBM–совместимый компьютер, 386-486, 4-8 RAM.
8. Программные средства: MSDOS v6.1, Norton Commander, Windows v3.1, Word v6.0, Exel 5.0, MathCAD, версия не ниже 2000.