- •2.1.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение нелинейного уравнения графическим методом
- •2.2.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение НелинейноГо уравнениЯ МетодОм простых итераций
- •2.3.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение нелинейного уравнения методом касательных
- •2.4.3. Пример.
- •2.4.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение систем Нелинейных уравнений графическим методом
- •2.5.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение систем Нелинейных уравнений методом пРостых итераЦиЙ
- •2.6.3. Пример.
- •2.6.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное интегрирование: метод прямоугольников и трапеций, формула симпсона
- •2.7.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное решение обыкновеНноГо дифференциального уравнениЯ МетодОм эЙлера и рунге-кутта
- •2.8.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное решение систем обыкновеНнЫх дифференциальных уравнениЙ МетодОм эЙлера
2.5.5. Вопросы для самопроверки
1. Как необходимо преобразовать систему уравнений, чтобы решить ее графическим методом?
2. Что нужно указывать по осям графика?
Лабораторная работа № 2.6 (С:\USERS\GROUP\NOF\lab6.mcd)
Решение систем Нелинейных уравнений методом пРостых итераЦиЙ
2.6.1. Цель работы. Получение практических навыков алгоритмизации и программирования решения систем нелинейных уравнений методом простых итераций.
2.6.2. Справочный материал. Рассмотрим системы нелинейных уравнений и начальных приближений, записанных в векторной форме
F(x) = 0, x0 = const. (2.6.1)
явно выразим вектор неизвестных x:
x = f(x). (2.6.2)
Приписывая итерационные индексы вектору неизвестной х в уравнении (2.6.2) таким образом, чтобы справа он был на единицу больше, получаем итерационный вычислительный процесс:
xi+1 = f(xi), x0 = const, i = 0, 1, …, N-1. (2.6.3)
Условия сходимости итерационного процесса для приближений векторных величин
, (2.6.4)
где - малый параметр, определяющий точность вычислений.
Таким образом, итерационный процесс прерывается при начале выполнения условия сходимости (2.6.4), отсюда и определяется N, как N = i+1.
Второй вопрос решается на основе условия локализации корня. Например, с помощью графика выберем окрестность искомого корня. Эту окрестность называют областью локализации корня. Итерационный процесс (2.6.3) сходится к искомому корню из любой точки области локализации, если в этой области выполняется условие
. (2.6.5)
Приведение исходного уравнения (2.6.1) к итерационному виду (2.6.2) в общем случае неоднозначно. Если для выбранного представления (2.6.2) условие (2.6.5) не выполняется, то нужно искать другую итерационную функцию.
2.6.3. Пример.
2.6.3.1. Методом простых итераций с заданной точностью решить систему нелинейных уравнений
(2.6.6)
Преобразуем эту систему уравнений к итерационной форме (2.6.2). Тогда вектор х и вектор правой части f(x) имеют вид:
х = ; f(x) = ,
где ; .
Начальные приближения корней возьмем из решения систем нелинейных уравнений (2.6.6) графическим методом:
.
Продифференцируем векторную функцию f(x) по векторному аргументу х, в результате получим матрицу q(x,y)
, так как . (2.6.7)
В качестве нормы матрицы возьмем ее определитель, а так как определитель может быть отрицательным, необходимо от него еще взять модуль, т.е.
. (2.6.8)
Теперь по формуле (2.6.3) можно построить итерационный процесс.
Рис. 2.6.1. Развитие итерационного процесса вычисления корней хк = 3;
ук =0,36 и число итераций равно N = 1
2.6.3.2. Методом простых итераций решить систему нелинейных уравнений при начальных приближениях корней, значение которых задается из графического метода
x + 3·lg(x) – y2 = 0; х0 = 1,59; у0 = -1,3; (2.6.9)
2·x2 - x·y - 5·x + 1 = 0.
Систему уравнений (2.6.9) запишем в следующем векторном виде:
А(х,у)·Х = ψ(х); Х0 = const, (2.6.10)
где Х = ; А(х,у) = ; ψ(х) = .
Полагая, что определитель матрицы А(х,у) не равен нулю (существует обратная матрица А-1(х,у)), в результате умножения левой и правой частей векторного уравнения (2.6.10) на обратную матрицу, получим
Х = f(x,y), где вектор f(x,y) = A-1(x,y)·ψ(x). (2.6.11)
Теперь по формуле (2.6.3) можно построить итерационный процесс в виде следующего алгоритма.
Программа и результаты итерационных вычислений корней:
Рис. 2.6.2. Развитие итерационного процесса вычисления корней (а) хк = 1,46
и (b) ук = - 1,4, при этом число итераций равно N = 200
2.6.4. Задание. Методом простых итераций решить соответствующий вариант задания, приведенного в п. 5.4 предыдущей работы.