43. Понят о дп. Принц оптим Беллмана

ДП(динамическое планирование)-метод нахожд-я реш-я в з-чах с многошаговой стр-рой.Суть метода ДП - идея постепенной, пошаговой оптимизации. Если трудно решить слож-ю задачу,то её след-т разбить на ряд более простых.Каждая новая задача оптим-ся не отдельно от осталь-х,а упр-ние на каждом шаге выбир-ся с учетом всех его последствий.Исключ-е-послед-й шаг,кот. мож. план-ся без учета посдед-вий.Особ-сть ДП:всю ДП целесообр-но разворач-ть от конца к началу

Функц-е ур-ния БЕЛЛМАНА. Будем сч-ть,ч.нач-е Х₀и кон-еХ_тсостояния сист.заданы.Об-чим ч/зf₁(x_0,u₁)-зн-ние ф-ции цели на1-м этапе, при нач-м сост-и сист.x₀ и при упр-нии u_1,ч/з f₂(x_1,u₂)-зн-ние ф-ции цели на2-м этапе ит.д….и f_n(x_n-1,u_n) зн-ние ф-ции цели на n-м этапе,тогда F=f(x_0,u)= (1).Треб-ся найти оптим. ур-ние U*=U₁*,U₂*,…,U_n*)такое,ч.достав-етЦФ1экср-е зн-е,при огр-яхU€Ω,гдеΩ-обл.опр-я исх.з-чи.Введем обоз-нияΩ_N,Ω_N-1,N,Ω_N-2,N,… Ω_1,N,=Ω-обл-ти опр-ния дан.з-ч на посл-м этапе,2-х посл-х этапах ит.д. F₁(x_N-1), F₂(x_N-2),… F_N(x₀)-зн-я ЦФ на посл-м этапе,2-х посл.ит.д.

Пусть сост-е x_N-1з-ны,тогда F₁(x_N-1)=max(min)_поUn€Ωf_N(X_N-1,U_N) (2); F₂(x_N-2)=max(min)_{поUn€ΩN-1,N}(f_N-2(X_N-2,U_N-1)+ F₁(x_N-1)) (3); F_N(x₀)=max(min)_{поU1€Ω1,N}(f₁(x_0,u₁)+ F_N-1(x₁)) (4).Ф-лы2-4наз-ся функц-м ур-нием Бел-на.для того,ч.найти оптим ур-ние наNшагах,нужно знать усл.-оптим.ур-ния на предшес-х N-1шаге.

47. Задача замены оборуд

Т – продолж-ть план. Периода, t – возраст оборуд-ия, r(t) – cтоим. Прод-ции, u(t) – экспл-е затр-ы, s(t) – остат-я стоим., F_k(t) – макс. Прибыль за k лет.

2. возможнсти: 1)Сохр-ть оборуд-е: тогда прибыль = r(t) – u(t). 2) Продать оборуд.: прибыль = s(t) – p + r(0) – u(0)

Если s(t) – p + r(0) – u(0) > r(t) – u(t), то замена

Если s(t) – p + r(0) – u(0) <= r(t) – u(t), то cохраняем

Общее функцион-е ур-ие:

r(t) – u(t) + F_k-1(t+1), сохран-е

F_k(t) = maxs(t) – p + r(0) – u(0) + F_k-1(1), замена

44. Вычисл схема реш задач методом дп

Раньше всех планир послед N шаг, за ним N-1 и т.д.Для кажд возможн исхода X_N-1 на N-1 шаге находим оптим управл на N шаге. Такой набор оптим управл, завис от возможных исходов предыд этапа наз. усл-оптим управл: U^*_N(X_N-1). Заверш анализ конечн этапа – рассм аналог задачу для предпослед этапа, при этом треб, чтобы ц.ф. достиг экстрем знач на 2-х послед этапах вместе. В итоге найдем усл-оптим реш на предпослед этапе: U^*_N(X_N-2) и т.д.

Проделав такой поиск усл-оптим управл от конца к началу, найдем последов-ть усл-оптим управл: U^*₁ (X₀), U^*₂ (X₁), …, U^*_n (X_n-1). Усл-оптим управл дают возмож-ть найти оптим управл на кажд шаге. Понятно, что нач сост Х₀ известно, тогда проделав процедуру движ от начала к концу найдем U^*₁ (X₀), а т.к. начальн сост известно, то это и будет явл оптим управл для 1-го шага. В рез-те перейдем к какому-то сост на начало 2-го шага: Х^*₁. Т.о., двиг от начала к концу, найдем оптим управл для всех этапов => в процессе реш задач д.п. многошаг процесс проходится дважды: 1)от конца к началу, в рез-те чего будут найдены усл-оптим управл и усл-оптим знач ц.ф. для кажд шага, в т.ч. будет определено оптимальное управление для 1-го шага и оптимальное значение ц.ф. для всего процесса. 2)от нач к концу, в рез-те чего будут опред оптим управл на кажд шаге с точки зрения всего процесса.

45. Пуст необх-мо найти маршрут, связыв-й города А и В для к-го суммарн з-ты на перевозку груза были бы наим-ми. Сеть дорог, связыв-я эти г-да, представл собой ориентированный граф. чтобы данную з-чу решить м-дом ДП всё мн-во г-дов разобьём на подмн-ва.1.Вкл исх г-д А.2.Вкл все г-да, в к-рые мжн попасть из 1-го подм-ва в 3-е подмн-во. Вкл все г-да, в к-рые мжн попасть из 2-го подмн-ва и т.д.3.Перенумер этапы от конечного г-да к исх-му. 4.Введём след обознач-я: n-номер шага /с_ij – ст-ть перевозки (расстояние) из г-да i в г-д j. /f_n(i) – мин з-ты на перевозку груза из г-да i до конечного г-да, если до конечного г-да осталось n-шагов. / j_n(i) - номер г-да, через к-рый нужно ехать из г-да i чтобы достичь f_n(i) . Сост рекуррентное соотнош-е: Пусть n=0. Эт знач, что мы находимся в конечном г-де, след-но f_n(i)=f₀(B)=0. / Пусть n=1. Эт знач, что до конечного г-да остался 1 шаг, предполож, что в конечный г-д груз мот быть доставлен или из г-да i₁ или из г-да i₂. Тогда з-ты на перевозку из этих 2-х состояний будут равны. f₁(i₁)= с_i2,B+f₀(B), i и j₁(i) / Пусть n=2. Предполож, что груз нах-ся в г-де S₁ или S₂ или S₃. В этом случ из г-да S₁ в г-д В груз мжн провезти или чрз г-д i₁ или чрз г-д i₂. Тогда оптимал маршрут найдётся из выр-я f₂(S₁)=min(по всем j)(с_s1i1+f₁(i₁); с_s1i2+f₁(i₂)), общая формулаf_n(i)= min(по всемi, j)(сij+ f_n-1(j))

46.З-ча оптим-го распр-я ср-в.n-предпр-ем выдел-ся ср-ва с.В зав-ти от выдел.суммы 0≤х≤с по каж-му пр-тию известен возм.прирост выпуска прод-и был max. n=1-ден.ср-ва выд-ся 1-му пр-тию.Каж-му знач-ю Х по усл-ю з-чи соотв.опред-ое единств.знач-е q₁(х),зн-т мож.записать,что общ.прирост f₁(х)=q₁(х) ,0≤х≤с. n=2-ден.ср-ва с распред-ся м/ду 2-мя пр-ями.Если2-му пр-тию буд.выд-на сумма Х,то прирост прод. На нем составит q₂(х).зн-т 1-му пр-тию остан-ся(с-х)ден.ед.,ч.поз-итувел-ть выпуск прод.до приростаf₁(с-х).Зн-т общ прирост составит q₂(х)+ f₁(с-х).Опт-му зн-ниюf₂(с) буд-т соот-ть так.зн-ние Х,для кот.посл-я сумм.буд.макс-й f₂(с)=max(q₂(х)+ f₁(с-х)), 0≤х≤с. Для всех n-пр-тий f_n(c)=max(q_n(х)+ fn-₁(с-х)), 0≤х≤с. max прирост вып.прод.на n пр-тиях опр-ся как maxсум.прироста на n-м пр-тии и прироста вып.отдел.n-1-м пр-тии при усл-и,что ост-ся после n-го пр-тия ср-ва м/дуо стал-ми пр-ями распр-ся оптим-но.