- •1. Введение в курс
- •Вопросы для самоконтроля
- •2. Растяжение и сжатие
- •Вопросы для самоконтроля
- •3. Сдвиг. Кручение
- •Вопросы для самоконтроля
- •4. Напряженное и деформируемое состояние в точке
- •Вопросы для самоконтроля
- •5. Плоский прямой изгиб
- •Вопросы для самоконтроля
- •6. Сложное сопротивление
- •Вопросы для самоконтроля
- •7. Статически неопределимые системы
- •Вопросы для самоконтроля
- •8. Устойчивость сжатых стержней
- •Вопросы для самоконтроля
- •9. Сопротивление динамическим и периодически меняющимся во времени нагрузкам
- •Вопросы для самоконтроля
Вопросы для самоконтроля
Задание №1.
На рисунки представлено…
○ объемное напряженное состояние
○ одноосное напряженное состояние
○ линейное напряженное состояние
○ напряженное состояние чистого сдвига
Задание №2.
Самым опасным из трех напряженных состояний по теории наибольших касательных напряжений (σэхв.= σ1- σ3 ) является состояние…
○ все напряженные состоянии равно опасны
○
○
○
Задание №3.
Для заданного напряженного состояния положение внешней нормали к одной из главных площадок определяется углом, который равен…
○ 33°30`
○ 45°
○ 60°
○ 22°30`
Задание №4.
Компоненты тензора деформации εx , εy , εz , γxy , γxz , γyz , представленные в виде функции координат X, Y, Z, определяют…
○ деформированное состояние в точке
○ деформированное состояние тела
○ напряженное состояние тела
○ напряженное состояние в точки
Задание №5.
Напряженное состояние в точке это…
○ совокупность касательных напряжений на всех площадках, которые можно провести через эту точку
○ совокупность всех касательных и нормальных напряжений, действующих по бесчисленному множеству площадок, которые можно провести через точку
○ совокупность касательных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках
Задание №6.
Главные напряжения это…
○ касательные напряжения на любых трех взаимно перпендикулярных площадках
○ нормальные напряжения на любых трех взаимно перпендикулярных площадках
○ максимальные касательные напряжения
○ экстремальные нормальные напряжения, действующие на главных площадках
Задание №7.
Совокупность компонентов линейных εx , εy , εz и угловых γxy , γxz , γyz деформаций в точке деформируемого тела, представленных в виде квадратной матрицы, называется…
○ напряженном состоянием в точки
○ законом Гука
○ тензором деформаций
○ тензором напряжений
Задание №8.
На рисунки представлено…
○ плоское напряженное состояние
○ напряженное состояние чистого сдвига
○ объемное напряженное состояние
○ линейное напряженное состояние
Задание №9.
Напряженное состояние называется линейным, если…
○ только одно из главных напряжений отлично от нуля
○ только одно нормальное напряжение равно нулю
○ все три главных напряжения отлично от нуля
○ только одно из главных напряжений равно нулю
Задание №10.
Стержень испытывает деформации растяжение и чистый изгиб. Напряженное состояние, которое возникает в опасной точке, называется…
○ линейным
○ чистым сдвигом
○ объемным
○ плоским
5. Плоский прямой изгиб
Задание №1.
С тальная балка имеет два варианта расположения квадратного поперечного сечения. В первом случае, она нагружается параллельно стороне квадрата. Во втором – в диагональной плоскости. Отношение прогибов равно…
● 1
○
○
○ 0
Решение: Поперечное сечение балки имеет четыре оси симметрии. Поэтому осевые моменты инерции поперечного сечения для любой оси, проходящей через центр тяжести, одинаковы и равны
, где а – сторона квадрата.
Прогибы балок и .
О тношение прогибов . Таким образом, прогиб в обоих вариантах расположения поперечных сечений будет одинаков.
Задание №2
К онсольная балка нагружена, как показано на схеме. Материал балки одинаково работает на растяжение и сжатие. Допускаемое напряжение , размеры b и l заданы. Из расчета по допускаемым напряжениям значение силы…
○
●
○
○
Решение: Составим условие прочности по допускаемым нормальным напряжениям .
Максимальное нормальное напряжение найдем по формуле
.
Для данной схемы нагружения балки, размерах и форме поперечного сечения , , .
После подстановки получим .
Задание №3.
Консольная балка на участке АВ нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q. Жесткость поперечного сечения стержня на изгиб всей длине постоянна. Угол поворота сечения B, по абсолютной величине равен…
○ 0
○
○
●
Решение: Построим эпюры изгибающих моментов от заданных нагрузок ( ). Затем построим эпюру ( ) от единичной пары приложенной в сечении В.
Определим угол поворота сечения В. Для этого перемножим эпюры от заданных нагрузок и единичного момента. На левом участке такое произведение равно 0. На правом участке обе эпюры линейные. Если взять площадь с единичной эпюры, получим:
. Знак «минус» показывает, что сечение В поворачивается в направлении, противоположном направлению единичного момента.
Задание №4.
Прямоугольная балка имеет два варианта расположения поперечного сечения. Отношение наибольших нормальных напряжений равно для этих двух вариантов равно…
○ 0,5
○ 1
● 2
○ 1,5
Решение: Наибольшие напряжения в указанных случаях определяются следующим образом:
, ,
где моменты сопротивления изгибу равны:
,
.
Следовательно, искомое отношение: .
Задание №5.
Балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q. Жесткость поперечного сечения балки на изгиб всей длине постоянна и равна . Прогиб в середине пролета балки длиной l равен…
○ 0
○
●
○
Решение: Так как единичная эпюра имеет два симметричных участка (ограничена двумя прямыми), перемножать эпюры от заданных нагрузок и единичной силы сразу по всей длине балки нельзя. Перемножим эпюры на половине длины балки, а результат удвоим. В результате получаем:
Задание №6.
Балка нагружена распределенной нагрузкой, меняющейся по закону . Поперечная сила по длине балки изменяется по закону…
● косинуса
○ синуса
○ прямой, параллельной оси балки
○ прямой, наклонной к оси балки
Решение: Воспользуемся дифференциальными зависимостями при плоском поперечном изгибе , .
Используя зависимость между и q, составим выражение для определения поперечной силы , учитывая, что распределенная нагрузка направлена вниз:
,
,
где С – постоянная интегрирования, которая определяется из условий опирания балки.
Из полученного выражения следует, что поперечная сила по длине балки изменяется по закону косинуса.
Задание №7.
Схема нагружения балки прямоугольного сечения с размерами представлена на рисунке. Сила F и размер l заданы. Значение нормального напряжения в точке «К» сечения I – I равно…
●
○
○
○
Решение: Воспользуемся формулой для определения нормальных напряжений при плоском поперечном изгибе:
где - изгибающий момент в сечении балки, в котором определяются нормальные напряжения; – осевой момент инерции сечения относительно главной оси, перпендикулярной плоскости действия изгибающего момента; у – расстояние от главной центральной оси до точки, в которой определяется нормальное напряжение.
В сечении I–I значение изгибающего момента . Осевой момент инерции прямоугольного сечения относительно главной центральной оси найдем по формуле . При заданных значениях b и h получим . Расстояние у от главной центральной оси до точки «К» равно b.
Следовательно, .
Задание №8.
Жесткость поперечного сечения балки на изгиб по длине постоянна. Сила F, размер l заданы. Прогиб свободного конца балки равен нулю, когда значение момента М равно …
●
○
○
○
Решение:
Начало координат z y возьмем в заделке.
Изгибающий момент в текущем сечении z равен: . Составим дифференциальное уравнение упругой линии балки:
Постоянные интегрирования определим из граничных условий.
В данной задаче и , откуда = =0. Из условия, что прогиб свободного конца балки (z=l) равен нулю, найдем .
Задание №9.
Прогиб на свободном конце балки мм. Угол поворота поперечного сечения над опорой. А равен…
○ 0 минутам
○ 12 минутам
● 24 минутам
○ 7 минутам
Решение: На участке АС изгибающий момент равен нулю. Прогибы изменяются по линейному закону.
Поэтому
Задание №10.
Балки имеют прямоугольное поперечное сечение (переменную высоту и постоянную ширину). Лучше работать на изгиб при данных условиях закрепления и нагружения будет балка…
●
○
○
○ Все балки на изгиб работают одинаково
Решение: Балки, у которых при заданной нагрузке максимальные напряжения во всех сечениях одинаковы, называются балками равного сопротивления изгибу. Пусть ширина балки b, высота балки есть функция от координаты h(x). Изгибающий момент в текущем сечении балки . Момент сопротивления изгибу текущего сечения . Следовательно, наибольшие напряжения в текущем сечении
.
В среднем сечении балки имеем
.
Приравнивая правые части последних выражений, получаем:
. Откуда . Т.е. высота сечения меняется по закону квадратной параболы (см. рис).
Наиболее близкой по форме будет:
Задание №11.
Из таблицы сортаментов для двутавровых балок имеем:
,
,
,
.
В опасном сечении балки, выполненной из пластичного материала (допускаемое напряжение МПа), значение изгибающего момента кНм. Отношение массы балки прямоугольного сечения (с отношением сторон ) к массе балки двутаврового сечения равно…
○ 3,34
○ 4,92
○ 0,985
● 3,1
Решение: Составим условие прочности при изгибе балки .
Момент сопротивления
.
Ближайший стандартный двутавровый профиль подбираем по сортаменту:
.
Для прямоугольного сечения имеем:
; см.
Площадь .
Отношение масс подобранных профилей равно отношению площадей поперечных сечений. Таким образом, балка прямоугольного сечения тяжелее балки двутаврового сечения в 3,1 раза.
Задание №12.
Эпюра изгибающих моментов имеет вид…
●
○
○
○
Решение: При данном виде нагружения в пределах каждого участка эпюра изгибающих моментов изменяется по линейному закону. В точке приложения сосредоточенной силы должно быть изменение угла наклона эпюры (излом). Эпюра будет иметь вид
в зависимости от того, на сжатом или растянутом слое она построена.
Задание №13.
Балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q. Эпюра изгибающих моментов имеет вид…
●
○
○
○
Решение: При данном виде нагружения эпюра изгибающих моментов изменяется по закону квадратной параболы. В середине эпюры будет максимум. Эпюра в зависимости от того, на сжатом или растянутом слое балки она строится, будет иметь вид
Задание №14.
Чугунная балка обладает наибольшей грузоподъемностью при расположении поперечного сечения, показанном на рисунке...
●
○
○
○ Все представленные варианты сечения равноценны
Решение: При изгибе балки внешней нагрузкой, как показано на рисунке, в нижних точках сечения материал работает на растяжение.
На растяжение хрупкий материал (чугун) работает плохо, но и напряжения в этих точках небольшие. В верхней точке поперечного сечения действует сжимающее напряжение (в два раза больше, чем растягивающее напряжение в нижних точках), и материал (чугун) на сжатие работает хорошо. Ориентация поперечного сечения согласована с прочностными характеристиками материала. Поэтому при данном расположении поперечного сечения и действующих нагрузках балка обладает наибольшей грузоподъемностью.
Задание №15.
Направление касательных напряжений, передающихся через ступенчатый разрез от правой части балки на левую, показано на рисунке…
●
○
○
○
Решение: На площадках ab и cd касательные напряжения совпадают по направлению с поперечной силой , а на площадке bc их направление подчиняется закону парности касательных напряжений.
Задание №16.
Поперечная сила в произвольном поперечном сечении стержня численно равна алгебраической сумме проекций на ось…
○ у всех внешних сил, действующих на стержень
● у всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения
○ у всех внешних и внутренних сил, действующих на стержень
○ у всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения
Решение: Поперечная сила в произвольном поперечном сечении стержня численно равна алгебраической сумме проекций на ось у всех внешних сил (в том числе и реакций внешних связей), расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Задание №17
При плоском поперечном изгибе нормальные напряжения по ширине сечения балки…
● распределяются равномерно
○ распределяются по линейному закону; максимальны по краям; равны нулю посередине
○ распределяются по закону квадратной параболы; максимальное значение принимают посередине; а по краям равны нулю
○ равны нулю
Решение: По ширине сечения балки нормальные напряжения при изгибе распределяются равномерно.
Задание №18.
Проверка на прочность по касательным напряжениям необходима в случае, если…
○ длинные балки нагружены перпендикулярно продольной оси силами
○ длинные балки нагружены большими сосредоточенными моментами
● короткие балки нагружены перпендикулярно продольной оси силами, имеющими большое значение; материал балки плохо сопротивляется сдвиговым деформациям; ширина поперечного сечения балки в районе нейтральной оси мала
○ длинные балки нагружены сосредоточенными силами и моментами
Решение: Проверка на прочность по касательным напряжениям необходима для коротких балок, нагруженных силами, имеющих большие значения. поперечные силы в этом случае , в этом случае относительно велики, а изгибающие моменты относительно малы и касательные напряжения могут быть весьма большими.
Расчет на прочность по касательным напряжениям также необходимо делать в случаях, если материал балки плохо сопротивляется сдвиговым деформациям или в районе нейтральной оси ширина поперечного сечения балки мала.
Задание №19.
Полная проверка прочности балки при изгибе включает в себя…
○ проверку по нормальным напряжениям и проверку по касательным напряжениям
○ проверку по нормальным напряжениям, проверку по касательным напряжениям, проверку по главным напряжениям и расчет на жесткость
○ проверку по касательным напряжениям, проверку по главным напряжениям и расчет на жесткость
● проверку по нормальным напряжениям, проверку по касательным напряжениям и проверку по главным напряжениям
Решение: Полная проверка прочности балки при изгибе включает в себя три проверки:
- по нормальным напряжениям ;
- по касательным напряжениям ;
- по главным напряжениям .
Проверка по нормальным напряжениям является основной проверкой и в подавляющем большинстве случаев единственно необходимой.
Задание №20.
Вывод формулы для определения нормальных напряжений при чистом изгибе основывается на…
○ гипотезе наибольших нормальных напряжений и гипотезе наибольших линейных деформаций
○ гипотезе наибольших касательных напряжений и гипотезе об удельной потенциальной энергии формоизменения
● гипотезе плоских сечений и гипотезе об отсутствии взаимного надавливания продольных слоев балки
○ законе парности касательных напряжений и теореме Кастильяно
Решение: Вывод формулы для определения нормальных напряжений при чистом изгибе основывается на гипотезе плоских сечений и гипотезе об отсутствии взаимного надавливания продольных слоев балки