3.2 Поступательное и вращательное движения твердого тела

3.2.1 Поступательное движение твердого тела

П оступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, поведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельно самой себе.

Т

Рис. 3.6

аким образом, при движении тела (рис. 3.6) из положения I в положение II прямая АВ в любой момент времени остаётся параллельно самой себе, т.е. || АВ.

При поступательном движении твердого тела все его точки описывают конгруэнтные (совпадающие при наложении) траектории и имеют в каждый момент времени равные по модулю и направлению скорости и ускорения.

(3.19)

3.2.2 Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Угловая скорость и угловое ускорение

В

Рис. 3.7

ращательным называется такое движение твердого тела, при котором две точки остаются всё время неподвижными. В силу определения абсолютно твердого тела все его точки, лежащие на оси вращения, остаются неподвижными. Уравнение вращательного движения имеет вид:

 = (t) (3.20)

где  – угол поворота тела.

Угловая скорость вращательного движения определятся по формуле:

(3.21)

Угловое ускорение : (3.22)

Размерности угловой скорости – или (с^–1), углового ускорения – или (с^–2). В технике часто используется другая размерность угловой скорости – . Если известно число оборотов в минуту , то угловую скорость  (с^–1) можно определить по формуле:

(3.23)

Частные случаи вращения твердого тела

1 Равномерное вращение –  = 0,  = const.

 = _o + t (3.24)

2 Переменное вращение –   0.

(3.25)

где _о, _о – начальные (при t = 0) значения угла поворота и угловой скорости. В выражениях (3.25) знак (+) принимается в случае ускоренного вращения и знак (–) – в случае замедленного вращения.

Угловая скорость и угловое ускорение часто рассматриваются как векторные величины. При этом вектор по оси вращения направляется в ту сторону, откуда вращение твердого тела видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 3.8). Вектор также направляется по оси ращения. Причем, если вращение равноускоренное, то векторы совпадают по направлению, в случае равнозамедленного вращения эти векторы направляются по оси вращения в противоположные стороны.

Рис. 3.8

3.2.3 Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося тела

Рис. 3.9

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси точки (частицы) тела двигаются по окружностям радиуса R_k, (k = 1,2, ... n – номера частиц тела) (рис. 3.7, 3.9) в параллельных плоскостях, перпендикулярных оси вращения. Если закон вращательного движения твердого тела (t) и направление его вращения известны, то движение точек этого тела можно считать заданными естественным способом, так как траектории известны – окружности, направления их движения и начало отсчета

движения определяются вращением твердого тела, а закон движения точек можно определить по формуле:

S_k(t) = R_k(t) (3.26)

Тогда скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точек определяются по формулам (3.13), (3.14), (3.15).

(3.27)

где R_k = _k постоянен по определению абсолютно твердого тела, векторы скорости и касательного ускорения направлены по касательной к окружности (траектории), а нормальное ускорение – к центру окружности (к центру кривизны траектории), лежащей на оси вращения тела. Причем, если вращение тела ускоренное, векторы совпадают по направлению, в случае замедленного вращения тела эти векторы имеют противоположные направления.