![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Статистическая проверка гипотез (статистические критерии)
- •Основные типы гипотез, проверяемых в ходе статистического анализа и моделирования
- •Гипотезы о типе закона распределения исследуемой случайной величины
- •Гипотезы об однородности двух или нескольких обрабатываемых выборок или нескольких характеристик анализируемых совокупностей
- •Гипотезы о числовых значениях параметров исследуемой генеральной совокупности
- •Гипотезы об общем виде модели, описывающей статистическую зависимость между признаками
- •Общая логическая схема статистического критерия
- •Построение статистического критерия; принцип отношения правдоподобия
- •Сущность принципа отношения правдоподобия
- •Методы проверки статистических гипотез: примеры статистических критериев Критерии согласия
- •Критерий согласия Пирсона
- •Критерий однородности Смирнова
- •Критерий Стьюдента ( -критерий)
- •-Критерий однородности дисперсий
- •Проверка гипотез о числовых значениях параметров
- •Критерии проверки гипотез о числовом значении параметра биноминального распределения
- •Критерии проверки гипотез о среднем значении нормальной генеральной совокупности
- •Критерий проверки гипотезы о значении дисперсии нормальной генеральной совокупности
- •Последовательный критерий отношения правдоподобия (критерий Вальда) и его свойства
-Критерий однородности дисперсий
Этот критерий предназначен для проверки гипотезы однородности дисперсий в двух нормальных генеральных совокупностях. Он основан на использовании критической статистики
.
В условиях
справедливости гипотезы (2в) эта
критическая статистика должна подчиняться
-распределению
с числами степеней свободы числителя
и знаменателя, равными соответственно
и
.
Поэтому при заданном уровне значимости
критерия
определяем
-ную
и
-ную
точки
и
.
Если окажется, что
,
то гипотеза однородности дисперсий не отвергается (и отвергается при всех других значениях критической статистики).
Пример.
Проверка гипотез о числовых значениях параметров
Рассмотрим несколько примеров статистических критериев, предназначенных для проверки простых основных гипотез относительно числовых значений параметров анализируемых законов распределения вероятностей, т.е. речь идет о проверке основной («нулевой») гипотезы
против альтернативы
или
,
где
и
– заданные числовые значения параметра,
который участвует в модельном описании
функции распределения вероятностей
анализируемой случайной величины
(т.е.
).
Критерии проверки гипотез о числовом значении параметра биноминального распределения
Рассматриваемая
задача относится к анализу результатов
серии
независимых испытаний Бернулли. При
этом в имеющейся у нас выборке объема
интересующее нас событие произошло
раз. Можно интерпретировать эту серию
(выборку) как единственное наблюдение
-биномиальной
случайной величины в ситуации, когда
параметр
известен, а параметр
нет.
Найдем критическую статистику критерия, опираясь на критерий отношения правдоподобия, как на наиболее мощный среди всех других возможных критериев. При этом для удобства будем работать не самим отношением правдоподобия, а с его логарифмом.
Функция правдоподобия биномиального закона с параметрами и при единственном наблюдении имеет вид:
.
Критическая
статистика критерия
,
определяемая логарифмом отношения
правдоподобия при произвольном значении
параметра
по отношению к основному гипотетическому
,
будет равна
. (1)
Достаточно большие
значения
говорят о большей правдоподобности
конкурирующей гипотезы
,
т.е. о необходимости отвергнуть основную
гипотезу
.
Для того чтобы
построить критерий при заданном значении
уровня значимости
,
нужно определить такое значение
,
при котором
. (2)
А для того, чтобы
вычислить ошибку второго рода
или мощность критерия
,
нужно вычислить вероятность
. (3)
Из (1) следует, что
обе эти задачи решаются, если мы будем
знать распределение случайной величины
как при условии справедливости «нулевой»
гипотезы
(т.е. при значении параметра, равном
заданной величине
),
так и при условии справедливости любой
альтернативы. Но признак
,
по построению, есть биномиально
распределенная случайная величина со
значением параметра
,
определяемым в зависимости от того, в
условиях справедливости какой из гипотез
мы ее рассматриваем.
Поэтому в дальнейшем
в качестве критической статистики
будем рассматривать случайную величину,
распределенную по биномиальному закону
с параметрами
.
Рассмотрим возможные варианты анализа
задачи.
Вариант 1.
проверяется простая гипотеза
при простой альтернативе
,
причем
.
Тогда смысл неравенств (2) и (3) сохраняется
при замене
на
,
а именно по заданному уровню значимости
требуется найти такое
,
что
. (2)
Но
. (2)
Следовательно, требуется решить уравнение (2) относительно . Обычно для этого используют нормальное или пуассоновское приближение, а именно:
если гипотетическая величина
, а число наблюдений составляет хотя бы несколько десятков, то используют теорему Муавра-Лапласа о приближенной (асимптотической) стандартной нормальности случайной величины
.
Тогда при
. (2)
Следовательно,
аргумент функции стандартного нормального
распределения является квантилем уровня
этого распределения
(квантилем уровня
непрерывной случайной величины
называется такое возможное значение
:
).
Определив из таблиц величину
,
получим
. (4)
Из (4) определяем
величину
,
на которой основано правило проверки
гипотезы
:
если окажется, что
,
то гипотеза
отвергается (с вероятностью ошибки,
приблизительно равной
).
Ошибка второго
рода этого критерия вычисляется также
с использованием нормальной аппроксимации
биномиального закона, но при значении
параметра
:
. (5)
если гипотетическая величина близка к нулю или единице (т.е.
или
), а число наблюдений, как и в предыдущем случае, составляет хотя бы несколько десятков, то для вычисления вероятностей события вида
, где – случайная величина, распределенная по биномиальному закону с параметрами
, лучше использовать аппроксимацию по закону Пуассона, т.е.
. (6)
С помощью таблиц
распределения Пуассона с параметром
находим
из условия
. (7)
Затем вычисляем вероятность ошибки второго рода
. (8)
(функция
обозначает функцию распределения закона
Пуассона с параметром
)
Вариант 2.
Проверяется простая гипотеза
при простой альтернативе
,
причем
.
В этом случае критическая константа
находится из условия
.
Схема решения такая же, как в варианте 1 с заменой смысла неравенств на противоположный в формулах (2), (2), (5), (7) и (8).
Вариант 3.
Проверяется простая гипотеза
против сложной альтернативы
.
В этом случае одинаково неестественными
(с точки зрения справедливости гипотезы
)
будут большие отклонения
от
как в одну, так и в другую сторону. Поэтому
при использовании нормальной аппроксимации следует находить константу
, заменив при этом на
. Тогда гипотеза отвергается, если
,
где
– квантиль уровня
стандартного нормального распределения.
При использовании аппроксимации с помощью закона Пуассона нужно вычислить две критические константы:
-ную и
-ную точки (соответственно
и
) распределения Пуассона с параметром
. Гипотеза будет приниматься, если
, и отвергаться в противном случае.
Пример.
Пример.