- •Статистическая проверка гипотез (статистические критерии)
- •Основные типы гипотез, проверяемых в ходе статистического анализа и моделирования
- •Гипотезы о типе закона распределения исследуемой случайной величины
- •Гипотезы об однородности двух или нескольких обрабатываемых выборок или нескольких характеристик анализируемых совокупностей
- •Гипотезы о числовых значениях параметров исследуемой генеральной совокупности
- •Гипотезы об общем виде модели, описывающей статистическую зависимость между признаками
- •Общая логическая схема статистического критерия
- •Построение статистического критерия; принцип отношения правдоподобия
- •Сущность принципа отношения правдоподобия
- •Методы проверки статистических гипотез: примеры статистических критериев Критерии согласия
- •Критерий согласия Пирсона
- •Критерий однородности Смирнова
- •Критерий Стьюдента ( -критерий)
- •-Критерий однородности дисперсий
- •Проверка гипотез о числовых значениях параметров
- •Критерии проверки гипотез о числовом значении параметра биноминального распределения
- •Критерии проверки гипотез о среднем значении нормальной генеральной совокупности
- •Критерий проверки гипотезы о значении дисперсии нормальной генеральной совокупности
- •Последовательный критерий отношения правдоподобия (критерий Вальда) и его свойства
Статистическая проверка гипотез (статистические критерии)
На разных стадиях статистического исследования и моделирования возникает необходимость в формулировке и экспериментальной проверке некоторых предположительных утверждений (гипотез) относительно природы или величины неизвестных параметров анализируемой системы. Выдвинутую нами гипотезу будем обозначать через . Задача заключается в том, чтобы проверить, не противоречит ли выдвинутая нами гипотеза имеющимся выборочным данным.
Процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы с имеющимися выборочными данными , сопровождаемая количественной оценкой степени достоверности получаемого вывода, осуществляется с помощью того или иного статистического критерия и называется статистической проверкой гипотез.
Результат подобной проверки может быть либо отрицательным (данные наблюдения противоречат высказанной гипотезе, а потому от этой гипотезы следует отказаться), либо неотрицательным (данные наблюдения не противоречат высказанной гипотезе, а потому ее можно принять в качестве одного из естественных и допустимых решений). При этом неотрицательный результат статистической проверки гипотезы не означает, что высказанное нами предположительное утверждение является наилучшим, единственно подходящим: просто она не противоречит имеющимся у нас выборочным данным, однако таким же свойством могут наряду с обладать и другие гипотезы. Так что даже статистически проверенную гипотезу следует расценивать не как раз и навсегда установленный, абсолютно верный факт, а лишь как достаточно правдоподобное, не противоречащее опыту утверждение.
Основные типы гипотез, проверяемых в ходе статистического анализа и моделирования
Гипотезы о типе закона распределения исследуемой случайной величины
При обработке данных выборки исследуемой случайной величины очень важно понять механизм формирования выборочных значений , т.е. подобрать и обосновать некоторую модельную функцию распределения , с помощью которой можно адекватно описать исследуемую функцию распределения . На определенной стадии исследования это приводит к необходимости проверки гипотез типа:
, (1)
где гипотетическая модельная функция может быть как заданной однозначно (тогда , где – полностью известная функция), так и заданной с точностью до принадлежности к некоторому параметрическому семейству (тогда , где – некоторый, вообще говоря, -мерный параметр, значения которого неизвестны, но могут быть оценены по выборке с помощью методов статистического оценивания).
Проверка гипотез типа (1) осуществляется с помощью так называемых критериев согласия и опирается на ту или иную меру различия между анализируемой эмпирической функцией распределения и гипотетическим модельным законом .
Гипотезы об однородности двух или нескольких обрабатываемых выборок или нескольких характеристик анализируемых совокупностей
Наиболее типичные задачи такого рода характеризуются следующей общей ситуацией. Пусть имеется несколько «порций» выборочных данных:
1-я: ;
2-я: ;
…………………...;
k-я: .
Эти порции могли образоваться, например, за счет разделенности условий их регистрации во времени или пространстве. Обозначим функцию распределения, описывающую вероятностный закон, которому подчиняются наблюдения -й выборки, , с этим же индексом обозначим интересующие нас эмпирические и теоретические характеристики этого закона (например, средние значения и ; дисперсии и и т.д.). тогда основные гипотезы однородности можно записать в виде:
; (2а)
; (2б)
. (2в)
В случае неотрицательного результата проверки этих гипотез говорят, что соответствующие выборочные характеристики различаются статистически незначительно.
Отметим частный случай гипотез типа (2а), когда число выборок , а одна из выборок содержит малое количество наблюдений (в частном случае – одно). В таком виде проверка гипотез типа (2а) означает проверку одного или нескольких резко выделяющихся наблюдений.