1.12.12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение
L[y]=f(x),
где f(x) непрерывная функция. Однородное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению, будет
L[y]=0.
Справедлива следующая теорема.
Теорема.
Пусть
– частное решение уравнения L[y]=f(x),
а уоо
– общее решение уравнения L[y]=0,
то общее решение уравнения L[y]=f(x)
равно сумме частного решения неоднородного
уравнения и общего решения однородного
уравнения
уон
= уоо
+
.
Эта теорема о структуре общего решения неоднородного дифференциального уравнения.
Применение следующей теоремы позволяет упростить процесс отыскания частных решений неоднородных уравнений.
Теорема. Если правая часть уравнения L[y]=f(x) есть сумма нескольких функций, то частное решение уравнения равно сумме частных решений, отвечающих каждой функции в отдельности.
Доказательство. Пусть f(x) = f1(x) + f2(x), а частные решения уравнений
L[y] = f1(x); L[y] = f2(x)
соответственно
.
Тогда
Как мы убедились раньше, задача отыскания общего решения неоднородного уравнения L[y] = f(x) сводится к отысканию общего решения однородного уравнения L[y] = 0 и частного решения неоднородного уравнения .
Приведем без доказательства метод, позволяющий определить общее решение неоднородного уравнения по общему решению однородного уравнения.
Метод вариации постоянных
1. Решить однородное уравнение L[y] = 0 и записать его общее решение
; (*)
2. Записать общее решение неоднородного уравнения в форме общего решения однородного уравнения, но с переменными коэффициентами
;
3. Построить систему уравнений
;
;
;
.
и решить ее;
4. Полученное решение подставить в (*).
Пример.
Решить
уравнение
.
Для
соответствующего однородного уравнения
общее решение имеет вид
.
Запишем его в виде
. (**)
Составляем для данного случая систему
Решаем эту систему
Найдем с1(х) и с2(х) из уравнений
Подставляя найденные с1(х) и с2(х) в (**) получим
1.12.13. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
Пусть дано уравнение L[y] = f(x). Если f(x) имеет специальный вид, то, можно доказать, что частное решение может быть также найдено методом неопределенных коэффициентов.
Пусть
или
где Um(x) и Vm(x) – многочлены степени m (при m=0 Um(x) и Vm(x) обращаются в постоянные), и некоторые действительные постоянные.
Если
=0,
то
и, в частности, при m=0
(a
– const).
При =0 имеем
или
.
Если
=0
и =0,
то
и, в частности, при m=0
f(x)=a
(a
– const).
Тогда если +i не является корнем характеристического уравнения
,
то уравнение L[y] = f(x) заведомо имеет частное решение вида
где Pm(x) и Qm(x) – некоторые многочлены степени не выше m.
Если же +i является корнем характеристического уравнения кратности r, то уравнение L[y] = f(x) заведомо имеет частное решение вида
где Pm(x) и Qm(x) – многочлены степени не выше, чем m.
Пример.
Решить
уравнение
.
Решение.
2-1=0 1=1 2=-1.
Общее решение однородного уравнения будет
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:
;
.
Подставляя в исходное уравнение, получим:
.
Приравнивая коэффициенты при подобных членах в обеих частях уравнения, получим:
.