1.12.7. Уравнения в полных дифференциалах

Выражение вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy называется полным (точным) дифференциалом, если существует функция u(x,y) двух переменных, для которой du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy. (4.1)

Уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, (4.2)

в котором левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u(x,y), называется уравнением в полных дифференциалах.

Если левая часть уравнения есть полный дифференциал функции u(x,y), то (4.2) можно записать в виде du=0. Решением этого уравнения является u(x,y)=с.

Для существования решения y=y(x) уравнения (4.2), соответствующего начальным значениям x₀, y₀, необходимо по u(x,y) иметь возможность определить неявную функцию y(x). Для этого необходимо, чтобы при х=x₀, y=y₀. Учитывая равенства и (4.1), имеем

(4.3)

Для того, чтобы выражение (4.1), где P(x,y) и Q(x,y) - непрерывные функции двух переменных, вместе с частными производными в их общей части области определения D, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия (4.4)

Докажем необходимость. Пусть (4.4) - полный дифференциал. Тогда дифференцируя (4.3) и вспомнив, что смешанные частные производные равны между собой, получим (4.4).

Докажем достаточность. Дано (4.3) и (4.4), то есть дана система дифференциальных уравнений (4.3) с условием (4.4), из которой надлежит найти функцию u(x,y). Если в первом уравнении системы (4.3) зафиксировать y и проинтегрировать уравнение по х, то получим

(4.5)

Здесь произвольная постоянная с=(y) зависит от y. В решении (4.5) не известна лишь (y). Для определения (y) продифференцируем (4.5) по y:

(4.6)

Используя второе уравнение (4.3) и (4.4), (4.6) можно записать так:

, но ,

поэтому или .

Это дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции (y). Решив его, имеем одно значение функции:

Таким образом, (4.7)

Здесь x₀, y₀ - координаты произвольной точки области определения u(x,y). Из (4.7) следует du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy, то есть достаточность доказана. Выражение (4.7) с учетом u(x,y)=с дает

При решении дифференциальных уравнений вида (4.2) вначале проверяют выполнение условия (4.4). Затем из любого уравнения (4.3) отыскивают u(x,y). Дифференцируя полученное для u(x,y) выражение и используя другое уравнение (4.3), определяют (y) ((х)), а с ней и функцию u(x,y). Решение получают в виде u(x,y)=с.

Пример. Решить уравнение (3x²+6xy²)dx+(6x²y+4y³)dy=0.

Решение.

Решением уравнения является x³+3x²y²+y⁴=c.

1.12.8. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение (5.1)

где p(x), f(x) - непрерывные функции от х на интервале (a,b), называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Неизвестная функция y(x) и ее производная входят в это уравнение в первой степени линейно.

Если f(x)=0, то уравнение (5.2)

называется линейным однородным уравнением, а в связи с этим уравнение (5.1) называют линейным неоднородным.

Однородное линейное уравнение имеет решение y(x)=0. Оно является уравнением с разделяющимися переменными, решим его:

Если в (5.3) разрешить постоянной с принимать нулевое значение, то формула (5.3) дает и решение y(x)=0.

Уравнение (5.1) обычно решают методом Бернулли. Представим искомую функцию в виде произведения двух неизвестных функций u(x) и v(x). Пусть y=uv, тогда и уравнение (5.1) примет вид

. (5.4)

Выберем функцию v(x) так, чтобы в уравнении (5.4) выражение в скобках обратилось в нуль: .

Относительно v(x) имеем линейное однородное уравнение, следовательно, по формуле (5.3) можем положить . При такой функции v, подстановка ее в уравнение (5.4) дает , откуда

Следовательно, общее решение уравнения (5.1) запишется в виде

где с - произвольная постоянная.

Пример. Решить уравнение Здесь Положим y=uv, y'=u'v+uv'. Подставляя выражения для y и y' в данное уравнение, получим:

После разделения переменных: . Отсюда ln| v |=ln(x²+1) или v= x²+1. Подставим найденное значение v в равенство (*), получим

Отсюда, разделяя переменные и интегрируя: получим

Теперь можно записать общее решение данного дифференциального уравнения: