1.12.3. Теорема о существовании и единственности решения дифференциальных уравнений первого и n-го порядка

Если дифференциальное уравнение разрешить относительно его старшей производной, то полученное уравнение называется разрешенным относительно старшей производной. Рассмотрим уравнение первого порядка y'=f(x,y). (1.1)

Пусть функция f(x,y) определена в некоторой открытой области D плоскости xoy (Рис. 1) и y=(x) есть решение уравнения (1). Тогда область определения функции y=(x) должна принадлежать области D и быть в ней дифференцируемой. Пусть в D дана точка М с координатами x₀, y₀, такая, что y(x₀)=y₀. Ставится задача: найти условия, налагаемые на функцию f(x,y), при которых уравнение (1) имеет решение, удовлетворяющее начальному условию y(x₀)=y₀. Такая задача называется задачей Коши. Решение этой задачи определяется следующей теоремой.

Теорема. Если функция f(x,y) определена и непрерывна в области D вместе со своей частной производной по неизвестной функции y, , то для всякой точки М(x₀,y₀), принадлежащей области D в некоторой окрестности точки М, существует единственное решение y=(x) уравнения(1), удовлетворяющее начальному условию

.

Геометрически это означает, что при выполнении условий теоремы через каждую внутреннюю точку области D проходит единственная интегральная кривая.

Сформулируем теперь теорему для уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной

y⁽ⁿ⁾=f(х,y,y',y'', ... ,y^(n-1)) (1.2)

с начальными условиями

(1.3)

Теорема. Если функция f(х,y,y',y'', ... ,y^(n-1)), зависящая от n+1 переменных: х,y,y',y'', ... ,y^(n-1) определена и непрерывна в некоторой (n+1)-мерной открытой области D вместе со своими производными , то для всякой точки М( ), принадлежащей области D в некоторой окрестности точки М, существует единственное решение y=(x) уравнения (1.2), удовлетворяющее начальным условиям (1.3), причем .

Условия, накладываемые в теоремах на правые части уравнений (1.1) и (1.2), достаточны как для существования, так и для единственности решений уравнений. Для существования решения достаточно потребовать ограниченности производных в открытой области D. Теоремы примем без доказательств.

1.12.4. Интегрируемые типы дифференциальных уравнений первого порядка

Рассмотрим уравнение первого порядка, разрешенное относительно первой производной:

y'=f(x,y); x'=q(x,y), (2.1)

где неизвестной является функция y(x) (либо x(y)), а известной является функция f(x,y) (либо q(x,y)). Учитывая, что , а , и полагая возможным представить f(x,y) или q(x,y) в виде - , уравнение (2.1) можно записать в симметричной форме

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 . (2.2)

Если в этом уравнении P(x,y) и Q(x,y) можно представить в виде P(x,y)=N(x)R(y) и Q(x,y)=M(x)K(y), то уравнение (2.2) записывается как

N(x)R(y)dx+M(x)K(y)dy=0 (2.3)

Это уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными. Метод его решения: разделив (2.3) на произведение M(x)K(y), получим

. (2.4)

Уравнение (2.4) называется уравнением с разделенными переменными. Операция деления уравнения (2.3) на произведение М(х)R(y) называется разделением переменных. Интегрируя (2.4), получим общий интеграл

исходного уравнения. При делении (2.3) на произведение М(х)R(y), можно потерять некоторые решения, которые получаются из уравнения

М(х)R(y)=0.

Определяя из этого уравнения решение y=(x), следует проверить, является ли оно решением уравнения (2.3). Если не является, его следует отбросить, а если является, то проверить, входит ли оно в общий интеграл. Если

входит, то оно есть частное решение, а если не входит, то это решение называется особым.

Пример. Решить уравнение y(x+1)dx+(y-1)xdy=0.

Решение. Разделим уравнение на произведение xy, получим:

.

Интегрируя, получим общий интеграл

x+ln|x|+y+ln|y|=c;

ln|xy|+x+y=c.

В этом уравнении М(х)R(y) имеет вид xy=0. Его решения x=0, y=0 являются решениями исходного уравнения, но не входят в общий интеграл. Следовательно, решения x=0, y=0 являются особыми.