1.5.14.6. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (в форме Шлемильха-Роша)

Теорема. (Тейлора). Пусть функция f(x) имеет в некоторой окрестности точки а производную порядка

n+1 (где n - любой фиксированный номер). Пусть х - любое значение аргумента из указанной окрестности, р - произвольное положительное число. Тогда между точками а и х найдется точка  такая, что справедлива следующая формула:

, (1)

где . (2)

Формула (1) называется формулой Тейлора с центром в точке а, а R_n+1(x) - остаточный член в общей форме (форме Шлемильха-Роша).

Замечание.

1) Независимо от расположения точки x относительно а (справа или слева от точки а) и для любого p>0 определено .

2) Функция f(x) и ее производные непрерывны до порядка n включительно.

1.5.14.7. Остаточный член в форме Лагранжа, Коши, Пеано

Запишем остаточный член в общей форме:

, где a<<x

(x<<a ). Отметим, что  зависит от x, n, p.

Очевидно, найдется такое число  ( зависит от x, n, p): 0<<1, что

-a=(x-a). Отсюда =a+(x-a), x-=(x-a) - (x-a)=(x-a)(1-) и .

Итак, .

1. Пусть p=n+1, тогда - остаточный член в форме Лагранжа.

2. Если p=1, то - остаточный член в форме Коши.

Отметим, что в этих формулах значения , вообще говоря, считаются различными, так как  зависит от р, которое различно в этих формулах.

Сформулируем без доказательства следующую теорему.

Теорема. Пусть функция f(x) имеет производные до порядка (n-1) в некоторой окрестности точки а и производную порядка n в самой точке а, тогда справедливо равенство (бесконечно малая при ха более высокого порядка малости, чем ). Последнее выражение есть остаточный член в форме Пеано.

Замечание. Запишем формулу Тейлора в несколько ином виде:

Пусть а=х₀, х-а=х. Остаточный член запишем в форме Лагранжа,

тогда

где 0<<1. При n=0 приходим к формуле Лагранжа:

. Таким образом, формула Тейлора является обобщением формулы Лагранжа.

1.5.14.8. Формула Маклорена

Формулой Маклорена называют формулу Тейлора с центром в точке а=0, т.е. формула Маклорена дает представление функции в окрестности точки х=0. Формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа, Коши и Пеано имеет вид:

,

где

1) (0<<1) (остаточный член, записанный в форме Лагранжа).

2) (0<<1) (остаточный член, записанный в форме Коши).

3) (остаточный член, записанный в форме Пеано)

1.5.14.8.1. Оценка остаточного члена в форме Лагранжа.

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки х=0 и существует М>0 такое, что , тогда

.

Действительно,

.

Здесь (0<<1), xuxu ,

поэтому

. (1)

Замечание 1. при любом фиксированном x.

Докажем это. Положим

, тогда .

Так как х фиксированно,

.

Пусть nn₀, тогда

,

т.е. начиная с номера n₀ последовательность является убывающей. Так как, кроме того, эта последовательность ограничена снизу ( например, числом нуль), то по теореме п.2.7. она имеет предел y.

Для нахождения предела заметим, что

.

Переходя к пределу при n, получим y=0y, т.е. y=0.

Таким образом, (2)

Замечание 2. Из условий (1) и (2) следует. что, выбирая достаточно большой номер n, мы можем сделать R_n+1(x) как угодно малым. Таким образом, если заменить значение f(x) приближенным, равным

,

то ошибка R_n+1(x) по абсолютной величине может быть сделана сколь угодно малой, если только в формуле Маклорена взято достаточно большое число членов.