1.5.11. Производные высших порядков

Определение 1. Пусть функция y=f(x) определена на (a,b), . Производная функции в точке x₀ называется второй производной функции f и обозначается т.е или .

Аналогично определяется производная любого порядка n=1, 2, ...

Если существует производная (n-1)-го порядка, то по определению При этом производная нулевого порядка - сама функция , а производная первого порядка - производная . Символическая запись производной n-го порядка функции y=f(x) на .

Определение 2. Функция называется n раз дифференцируемой на {x}, если на {x} она имеет производные до порядка n включительно.

Сформулируем (без доказательства) теорему о вычислении n-ой производной произведения и суммы двух функций, имеющую большое прикладное значение.

Теорема.

Пусть функции y₁=f₁(x) и y₂=f₂(x) определены в некоторой окрестности точки x₀, имеют производные n-го порядка в точке x₀, тогда функции также имеют производные n-го порядка в точке x₀, причем , Последняя формула называется формулой Лейбница.¹

Пример. Вычислить Обозначим

Очевидно, что

Поэтому,

1.5.12. Дифференциалы высших порядков

Для удобства проведения дальнейших выкладок для обозначения дифференциала наряду с символом d будем употреблять также символ  (x и y).

Пусть тогда . Дифференциал функции dy есть функция двух переменных: точки x и переменной dx. Пусть, далее, , и dx имеет одно и то же фиксированное значение для , тогда

Определение. Значение (dy) дифференциала от первого дифференциала dy в некоторой точке x₀, взятое при x=dx, называют вторым дифференциалом функции y=f(x) (в точке x₀) и обозначают символом

Замечание 1. Из определения следует, что d²x=0, т.к. приращение x=dx считается постоянным.

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков.

Предположим, что производная (n-1)-го порядка дифференцируема в окрестности точки x₀ (т.е. функция y=f(x) имеет в точке х₀ производную n-го порядка), тогда дифференциалом n-го порядка dⁿy функции y=f(x) в точке х₀ называется дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка d^n-1y, взятый при х=dx, т.е.

.

Методом математической индукции можно получить, что

(1)

или (2)

Замечание 2. Формулы (1) и (2) справедливы при n>1 лишь в том случае, когда x является независимой переменной, т.е. второй и последующие дифференциалы не обладают, вообще говоря, свойством инвариантности формы. Действительно, пусть тогда

и мы имеем дополнительный, отличный от 0 член

1.5.13. Дифференцирование функции, заданной параметрически

Пусть функции x=(t) и y=(t) определены в некоторой окрестности точки t₀. Пусть одна из функций, например, тогда и в некоторой окрестности точки x₀ (x₀ - , x₀ + ), имеет смысл функция

Функция называется заданной параметрически формулами x=(t) и y=(t) функцией.

Лемма.

Если x=(t) и y=(t) имеют в точке t₀ производные и если имеет в точке x₀=(t₀) производную, причем

(1)

Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции и обратной функции имеем:

.

Для вычисления второй производной следует представить ее в виде и воспользоваться формулой (1) и правилом дифференцирования частного.