1.5.3. Дифференциируемость функции
Пусть функция y=f(x) определена на (a,b), x - некоторое фиксированное значение аргумента x(a,b), x - любое приращение аргумента такое, что (x+x) (a,b).
Определение. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x, если приращение y этой функции в точке x, соответствующее приращению аргумента x, может быть представлено в виде
y=Аx+x, (1)
где А - некоторая константа, не зависящая от x, а - функция от x ((x)), являющаяся бесконечно малой при x0.
Замечание 1. При x=0 функция (x), вообще говоря, не определена, поэтому в этой точке для удобства припишем значение (0), равное нулю. В этом случае функция (x) станет непрерывной в точке x=0, и равенство (1) можно распространить на значение x=0.
Замечание 2. Так как (x) и x - бесконечно малые функции в точке x=0, (x)x=0(x), тогда
y=Ax+0(x). (2)
Теорема
1. Для того,
чтобы функция y=f(x) являлась дифференцируемой
в точке x (символическая запись:
,
необходимо и достаточно, чтобы она имела
в этой точке конечную производную.
Необходимость.
Пусть функция
y=
,
тогда
.
Отсюда
.
Достаточность.
Пусть функция
y=f(x) имеет в данной точке x конечную
производную, т.е. существует
,
тогда
-
бесконечно малая при x0
(см. теорему 1 п.3.11).
Отсюда
,
где
,
и если
обозначить
через А, то y=Аx+x.
Замечание 3. Доказанная теорема позволяет в дальнейшем отождествлять понятие дифференциируемости функций в данной точке и наличие у этой функции в данной точке конечной производной.
Теорема 2. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство.
Так
как функция дифференцируема в точке x,
y=Ax+x.
Но тогда
В
силу разностной формы условия непрерывности
функция y=f(x) непрерывна в точке x (см.
замечание 1 п.4.1.)
Замечание 4. Обратное утверждение, вообще говоря, места не имеет, т.е. непрерывная в точке x функция может не являться дифференцируемой в этой точке.
Пример. Рассмотрим функцию y=x.
|
Поскольку
y=x+x-xx+x-x=x, |
и функция непрерывна в любой точке
x.
Покажем, что эта функция не имеет в
точке x=0 производной.
Действительно,
и правая производная
функции в точке x=0 отлична от левой.
В остальных точках производная функции y=x существует и равна sgnX
1.5.4. Правила вычисления производных,
связанные с арифметическими действиями
над функциями
Теорема. Пусть функции y1=f1(x) и y2=f2(x) имеют производные в точке x0. Тогда их сумма, разность, произведение и частное (частное при условии y20 в точке x=x0) также имеют производные в точке x=x0, причем
1.5.5. Вычисления производных некоторых элементарных функций
1.
y=c (c= const) y=c-c
.
Итак,
.
Замечание
1. Производная
произведения функции на постоянную
равна произведению этой постоянной на
производную функции, т.е.
.
Доказательство.
.
Замечание
2. Если n -
любое фиксированное целое число, то
.
Следует из предыдущей теоремы с помощью метода математической индукции.
2. y=xn (степенная функция), где n - положительное целое число.
Если
использовать формулу бинома Ньютона,
получим
При x0
При
x0
все слагаемые правой части, начиная со
второго, стремятся к нулю, т.к. содержат
x
в некоторой положительной степени.
Первое слагаемое x
не содержит, поэтому предел правой части
при x0
равен nxn-1.
Следовательно, существует предел левой
части при x0,
равный nxn-1.
По определению производной указанный
предел равен производной функции y=xn,
т.е.
.
Данные рассуждения справедливы для любой точки x(-, +).
Кроме того, эту формулу можно обобщить на тот случай, когда n является произвольным вещественным числом (доказательство этого положения см. в п. 4.6.).
3. y=sinx.
.
При x0
. (1)
В
силу непрерывности функции cosx в любой
точке x(-,
+)
1
. Если учесть также, что
(см. п.3.16), получим, что предел правой
части равенства (1) существует и равен
cosx (на основании теоремы 1 п.3.10), а тогда
и предел левой части этого равенства
существует и равен cosx. По определению
производной указанный предел равен
производной функции y=sinx, т.е.
.
4.
Аналогичным образом можно показать,
что
.
5.
Пусть x,
и x
- произвольное приращение аргумента,
такое что x
<x.
При
x
Если x - фиксировано, то при
и на основании непрерывности функции
в любой точке полупрямой (0,)
и, в частности, в точке
получим, что
Поэтому существует предел правой части
равенства при
Но по определению,
,
поэтому
В частности, при а=е
имеем
6.
y=tgx,
(см. теорему 1 п.3.10)
.
7.
y=ctgx. Аналогично этому
Прежде, чем вычислять производные других элементарных функций, докажем теорему о производной обратной функции.
Теорема.
Пусть функция y=f(x).
1) определена, непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки x0.
2)
в точке x0
существует отличная от 0 производная
Тогда и обратная функция
имеет производную в точке
причем
Раскроем геометрический смысл этого положения.
|
Рассмотрим в окрестности x=x0 график функции y=f(x). Если провести касательную к графику в точке М(x0,y0), то
той же касательной к положительному направлению оси Оy).
|
(
- угол наклона касательной к положительному
направлению оси Оx).
(-
угол наклона
Поскольку
формула
выражает очевидный факт:
Используя эту теорему, можно получить производные следующих элементарных функций, являющихся строго монотонными в области их определения.
8.
Функция
является обратной для логарифмической
функции
,
определенной на полупрямой y>0. Поскольку
в окрестности любой точки y выполнены
условия теоремы, то
Итак,
При а=е, получим
.
9.
y=arcsinx,
Будем рассматривать интервал
В этом случае
Так как
Итак,
.
10.
Аналогично этому
.
11.
y=arctgx и
если
x ;
x=tgy, тогда
12.
По аналогии с предыдущим
Сведем теперь в единую таблицу производные элементарных функций.
1.
в частности,
.
2.
В частности
3.
В частности
.
4.
5.
6.
.
7.
.
8.
9.
10.
11.
По определению, гиперболическим синусом (shx), косинусом (chx), тангенсом (thx) и котангенсом (cthx) называются функции
производные которых вычисляются по следующим формулам:
13.
14.
15.
16.
(x).