Регресійний аналіз
Регресійний аналіз є одним з найбільш широко використовуваних статистичних методів. У ньому задіяна велика кількість інших статистичних процедур (гіпотези про середні і дисперсії, кореляційний і дисперсійний аналіз, планування експерименту тощо) і розділи інших наук (наприклад, лінійна алгебра). Призначенням регресійного аналізу є отримання по експериментальним даним математичного рівняння (моделі), що описує поведінку деякої величини y в залежності від x :
Знаючи коефіцієнт кореляції ми можемо по величині однієї з корелюючих між собою змінних передбачити відповідне значення другої змінної.
Рівняння для Y по X має вигляд:
,
де
,
,
,
і називається рівнянням регресії (термін
регресія понад 100 років тому був введений
англійським статистиком Ф. Гамільтоном
при вивченні спадкових ознак). Зміст
поняття регресія (повернення до середнього
значення) виражав характер зв’язку між
ростом батьків та їхніх дітей – тенденції
до середнього росту.
Якщо кореляція лінійна, то рівняння регресії можна записати наступним чином:
,
,
де
,
– кутові коефіцієнти регресії (рис. 34)
Рис. 34. рівняння регресії для лінійної кореляції
Приклад 6
Отримати прогноз значень коефіцієнта IQ у дітей по середнім значенням коефіцієнта IQ у батьків (коефіцієнти IQ у батьків і дітей є нормально розподіленими незалежними випадковими величинами) (таб. 24).
Таблиця 24. Прогноз значень коефіцієнта IQ
Середні значення IQ для обох батьків |
Прогноз
|
Прогноз коефіцієнта IQ у дітей |
|
Коефіцієнт IQ |
|
||
125 |
+1,63 |
+0,96 |
114,72 |
120 |
+1,30 |
+0,77 |
111,80 |
110 |
+0,65 |
+0,38 |
105,83 |
105 |
+0,33 |
+0,20 |
103,07 |
105 |
+0,33 |
+0,20 |
103,07 |
95 |
-0,33 |
-0,20 |
96,93 |
95 |
-0,33 |
-0,20 |
96,93 |
90 |
-0,65 |
-0,38 |
94,17 |
80 |
-1,30 |
-0,77 |
88,20 |
75 |
-1,63 |
-0,96 |
85,28 |
|
0,00 |
0,00 |
100 |
|
1,00 |
0,35 |
81,75 |
|
1,00 |
|
9,04 |
Результати прогнозу (стовпчик 4) ілюструє
явище, яке носить назву «регресія до
середнього». У стовпчику три стандартне
відхилення
,
тобто воно дорівнює величині коефіцієнта
кореляції між прогнозуючими значеннями
Z-оцінок:
.
Дисперсія
,
тобто
.
Вона має особливий зміст: характеризує
частину дисперсії значень y,
яку можна пояснити наявністю кореляції
між x і y.
Тестові завдання для самоконтролю
1. В результаті експерименту, що може бути повторений велику кількість разів, отримані значення х1, х2,..., хn, які називають:
вибіркою
випадковою величиною
щільністю розподілу випадкової величини
законом розподілу
2. Дискретною випадковою називається величина, яка приймає значення:
з замкненого інтервалу [0;n]
з відкритого інтервалу (0;n)
з напівзамкненого інтервалу зліва або справа
кінцеву кількість значень х1, х2,..., хn.
3. Величина, котра може приймати будь-які числові значення в даному інтервалі значень називається:
дискретною випадковою величиною
неперервною випадковою величиною
випадковою величиною;
параметром розподілу випадкової величини
4. Функціональна залежність між значеннями випадкових величин та ймовірностями з якими вони приймають ці значення називають:
щільністю розподілу
гістограмою розподілу
медіаною розподілу
законом розподілу
5. Щільність розподілу для неперервної випадкової величини – це:
первісна від функції розподілу
інтеграл від функції розподілу
похідна від функції розподілу
квадрат функції розподілу
6. Якому закону розподілу підпорядковуються випадкові події такі, як число викликів швидкої допомоги за певний проміжок часу, черги до лікаря в поліклініці, епідемії:
Госсета
Біноміальному
Пуассона
Гаусса
7. Які параметри має нормований нормальний закон розподілу:
Математичне сподівання – 0, дисперсія – 1
Математичне сподівання – 1, дисперсія – 1
Математичне сподівання – 0, дисперсія – 0
Математичне сподівання – 1, дисперсія – 2
8. Набір значень (х1,х2,...,хn) випадкової величини Х, котрі отримані в результаті п дослідів, називається:
вибіркою об’єму n
генеральною сукупністю
дискретною випадковою величиною
розподілом випадкової величини
9. Припущення, котрі відносяться до виду розподілу випадкової величини або окремих його параметрів є:
функції розподілу
щільності розподілу
статистичні гіпотези
параметри розподілу
10. Ймовірність з якою може бути відхилена нульова гіпотеза, коли вона є вірною, називається:
рівень значущості
похибкою ІІ-го роду
довірчою ймовірністю
похибкою експерименту
11. При проведенні досліджень необхідно забезпечити наступні вимоги до вибірки:
структурну відповідність, однорідність
однорідність, репрезентативність, співпадання умов спостережень
однорідність, співпадання умов спостережень
репрезентативність, співпадання умов спостережень
12. Нульова гіпозеза, що перевіряється за критерієм Пірсона, приймається, коли:
>
<
≥
=
13. Нульова гіпозеза, що перевіряється за критерієм Ст’юдента, відхиляється, коли:
< t
t
> t
= t.
14. Як задається кореляційна залежність між випадковими величинами:
у вигляді таблиць
вибіркових значень
матриць
моментів І-го і ІІ-го порядку розподілу
15. Значення коефіцієнта кореляції може змінюватися від
[-1;1)
(-1;1)
[-1;1]
(-1;1]
16. Що характеризує абсолютне значення коефіцієнта кореляції стохастичного взаємозв’язку між випадковими величинами:
силу та напрям
напрям та щільність
розсіювання та напрям
силу та щільність
17. Знак коефіцієнта кореляції вказує:
на щільність кореляції
на напрям стохастичного зв’язку
на силу стохастичного зв’язку
на ступінь розсіювання між випадковими величинами
18. Діаграми розсіювання випадкових величин характеризує:
параметри розподілу випадкових величин
емпіричну функцію розподілу
зміст концепції кореляції
щільність розподілу
19. Що означає термін регресія:
тенденцію зміни випадкових величин
повернення до середнього значення
нормалізація параметрів розподілу
напрям стохастичного зв’язку
20. Який вигляд має рівняння регресії, якщо кореляційний зв’язок є лінійним:
21. Які результати прогнозу дає “регресія до середнього”:
стандартне відхилення
дорівнює коефіцієнту кореляціїпояснює відсутність кореляційного зв’язку
стандартне відхилення
дорівнює коефіцієнту кореляціївказує на напрям стохастичного зв’язку