- •1Геометрия на плоскости и в пространстве.
- •1.1Скалярное произведение.
- •. Симметричность
- •Линейность
- •1.2Векторное и смешанное произведение.
- •1.3Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •2Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- •Симметричность:
- •2.1 Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- •2.2 Ортогональность.
- •2.3 Процесс ортогонализации.
- •2.4 Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция и составляющая.
- •2.5 Геометрический смысл определителя матрицы Грама. Неравенство Адамара.
- •2.6. Расстояния. Псевдорешения. Нормальные решения. Нормальные псевдорешения.
- •2.6.1Псевдорешения. Метод наименьших квадратов.
- •2.6.2Нормальное решение
- •2.6.3Нормальное псевдорешение.
- •3Унитарное пространство.
- •4Билинейные функции, квадратичные формы.
- •4.1Билинейные формы. Квадратичные формы.
- •4.2 Полуторалинейные формы. Эрмитовы формы.
- •4.3 Изменение матрицы билинейной (полуторалинейной) формы при изменении базиса.
- •4.4 Приведение квадратичных форм (симметричных билинейных форм, эрмитовых форм) к простейшему виду.
- •4.4.1Метод выделения квадратов (Лагранжа).
- •4.4.2Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями
- •4.4.3Закон инерции квадратичных форм.
- •4.4.4Теорема Якоби
- •4.4.5Критерий Сильвестра.
- •5Квадрики.
- •5.1 Алгебраическая поверхность
- •5.2 Уравнение квадрики.
- •5.3Изменение квадрики при аффинном преобразовании
- •5.4 Приведение уравнения квадрики к простейшему виду
- •5.5Аффинная классификация кривых второго порядка.
- •5.6Аффинная классификация поверхностей второго порядка
- •6.1.3Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса.
- •6.2Алгебра линейных операторов.
- •6.3 Простейший вид матрицы линейного оператора.
- •6.3.1Эквивалентность матриц
- •6.3.2Ранг, дефект линейного оператора.
- •7Линейное преобразование
- •7.1Линейное преобразование. Его матрица
- •7.2Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса.
- •7.3 Алгебра линейных преобразований.
- •7.4 Инвариантные пространства
- •7.5 Собственные векторы и собственные числа. Характеристическое уравнение.
- •7.6Коэффициенты характеристического уравнения. След матрицы.
- •7.7 Диагонализируемые преобразования
- •7.8 Теорема Шура
- •8 Сопряженные преобразования.
- •8.1 Линейное преобразование и билинейные функции
- •8.2 Сопряженное преобразование. Свойства.
- •Если w инвариантное подпространство , то ортогональное дополнение к w инвариантно относительно .
- •8.3 Нормальное преобразование и его свойства.
- •8.4 Ортогональные преобразования
- •8.5Самосопряженное преобразование.
- •8.6Полярное разложение
- •9 Приведение квадратичных форм
- •9.1 Приведение квадратичных форм к главным осям.
- •9.2 Приведение пары квадратичных форм
- •9.2.1Первый способ
- •9.2.2Пучок матриц
- •9.3 Приведение квадрики ортогональным преобразованием. Ортогональные инварианты и полуинварианты.
- •9.4Ортогональная классификация кривых второго порядка
- •9.5Ортогональная классификация поверхностей второго порядка.
- •10 Аннулирующий многочлен
- •10.1Аннулирующий многочлен вектора.
- •10.2Аннулирующий многочлен подпространства
- •10.3Функции от матриц
- •10.4Вычисление линейных рекуррентных последовательностей
2.5 Геометрический смысл определителя матрицы Грама. Неравенство Адамара.
Свойство 2.12. Определитель матрицы Грама от линейно зависимой системы векторов равен 0.
Доказательство. Пусть система векторов - линейно зависима. Тогда, либо система содержит нулевой вектор, и утверждение в этом случае очевидно, либо найдется вектор , линейно выражающийся через предыдущие векторы системы. В матрице Грама вычтем из i-ой строки, предыдущие строки с коэффициентами . Определитель матрицы Грама при этом не изменится, а i-ая строка станет равной нулю. Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю, а, значит, и определитель матрицы Грама равен нулю.
Р ассмотрим геометрический смысл матрицы Грама от линейной не зависимой системы векторов . Если k=1, то - квадрат длины вектора. Если k>1, то применим к системе векторов процесс ортогонализации и построим ортогональную систему векторов . Обозначим через P матрицу перехода от системы к системе . Эта матрица имеет треугольный вид, а на ее главной диагонали стоят 1, и ее определитель равен 1. Кроме того, и, следовательно, определители матриц Грама равны. Поскольку система векторов - ортогональна, то матрица Грама от этой системы векторов – диагональная, и ее определитель равен произведению квадратов длин векторов этой системы. Таким образом, установлено равенство . Рассмотрим случай k=2. Тогда равна длине высоты параллелограмма, опущенного на сторону (см. Error: Reference source not found). Следовательно, произведение равно площади параллелограмма натянутого на векторы , а определитель матрицы Грама равен квадрату площади этого параллелограмма. Если k=3, то вектор является ортогональной составляющей вектора к плоскости, натянутой на векторы . Следовательно, определитель матрицы Грама от трех векторов равен квадрату объема параллелепипеда, натянутого на векторы . Поскольку все рассуждения обобщаются на произвольную размерность, то тем самым установлено свойство.
Свойство 2.13 Определитель матрицы Грама от системы векторов равен 0, если система линейно зависима, и квадрату объема k-мерного параллелепипеда натянутого на векторы иначе.
Покажем теперь неравенство Адамара.
Теорема 2.4.
Доказательство. Если система векторов линейно зависимая, то неравенство очевидно. Пусть эта система векторов линейно независимая. Применим к ней процесс ортогонализации и построим ортогональную систему векторов . Вектор является ортогональной составляющей вектора на линейную оболочку векторов , и, значит, по неравенству Бесселя (Теорема 2 .2). Далее, , что и требовалось доказать.
Неравенство Адамара обращается в равенство, только если исходная система векторов является ортогональной. В остальных случаях неравенство – строгое.
Следствие 2.5 Справедливы неравенства и .
Доказательство. В n-мерном арифметическом пространстве определим скалярное произведение по формуле . Рассмотрим систему векторов, образованную столбцами матрицы A. Матрица Грама от этой системы векторов равна и по неравенству Адамара . Поскольку , то неравенство установлено. Применяя полученное неравенство к транспонированной матрице, выводим .
Следствие 2.6 Пусть . Тогда .
Доказательство очевидно.
Положим и, далее, по индукции . Матрица имеет порядок , ее определитель равен и все ее элементы равны . Легко убедиться, что неравенство (Следствие 2 .6) обращается на этой матрице в равенство.