- •1Геометрия на плоскости и в пространстве.
- •1.1Скалярное произведение.
- •. Симметричность
- •Линейность
- •1.2Векторное и смешанное произведение.
- •1.3Уравнение прямой и плоскости в пространстве
- •2Евклидово пространство. Скалярное произведение.
- •Симметричность:
- •2.1 Изменение матрицы Грама при изменении базиса.
- •2.2 Ортогональность.
- •2.3 Процесс ортогонализации.
- •2.4 Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция и составляющая.
- •2.5 Геометрический смысл определителя матрицы Грама. Неравенство Адамара.
- •2.6. Расстояния. Псевдорешения. Нормальные решения. Нормальные псевдорешения.
- •2.6.1Псевдорешения. Метод наименьших квадратов.
- •2.6.2Нормальное решение
- •2.6.3Нормальное псевдорешение.
- •3Унитарное пространство.
- •4Билинейные функции, квадратичные формы.
- •4.1Билинейные формы. Квадратичные формы.
- •4.2 Полуторалинейные формы. Эрмитовы формы.
- •4.3 Изменение матрицы билинейной (полуторалинейной) формы при изменении базиса.
- •4.4 Приведение квадратичных форм (симметричных билинейных форм, эрмитовых форм) к простейшему виду.
- •4.4.1Метод выделения квадратов (Лагранжа).
- •4.4.2Приведение квадратичных форм к нормальному виду элементарными преобразованиями
- •4.4.3Закон инерции квадратичных форм.
- •4.4.4Теорема Якоби
- •4.4.5Критерий Сильвестра.
- •5Квадрики.
- •5.1 Алгебраическая поверхность
- •5.2 Уравнение квадрики.
- •5.3Изменение квадрики при аффинном преобразовании
- •5.4 Приведение уравнения квадрики к простейшему виду
- •5.5Аффинная классификация кривых второго порядка.
- •5.6Аффинная классификация поверхностей второго порядка
- •6.1.3Изменение матрицы линейного оператора при изменении базиса.
- •6.2Алгебра линейных операторов.
- •6.3 Простейший вид матрицы линейного оператора.
- •6.3.1Эквивалентность матриц
- •6.3.2Ранг, дефект линейного оператора.
- •7Линейное преобразование
- •7.1Линейное преобразование. Его матрица
- •7.2Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса.
- •7.3 Алгебра линейных преобразований.
- •7.4 Инвариантные пространства
- •7.5 Собственные векторы и собственные числа. Характеристическое уравнение.
- •7.6Коэффициенты характеристического уравнения. След матрицы.
- •7.7 Диагонализируемые преобразования
- •7.8 Теорема Шура
- •8 Сопряженные преобразования.
- •8.1 Линейное преобразование и билинейные функции
- •8.2 Сопряженное преобразование. Свойства.
- •Если w инвариантное подпространство , то ортогональное дополнение к w инвариантно относительно .
- •8.3 Нормальное преобразование и его свойства.
- •8.4 Ортогональные преобразования
- •8.5Самосопряженное преобразование.
- •8.6Полярное разложение
- •9 Приведение квадратичных форм
- •9.1 Приведение квадратичных форм к главным осям.
- •9.2 Приведение пары квадратичных форм
- •9.2.1Первый способ
- •9.2.2Пучок матриц
- •9.3 Приведение квадрики ортогональным преобразованием. Ортогональные инварианты и полуинварианты.
- •9.4Ортогональная классификация кривых второго порядка
- •9.5Ортогональная классификация поверхностей второго порядка.
- •10 Аннулирующий многочлен
- •10.1Аннулирующий многочлен вектора.
- •10.2Аннулирующий многочлен подпространства
- •10.3Функции от матриц
- •10.4Вычисление линейных рекуррентных последовательностей
9.3 Приведение квадрики ортогональным преобразованием. Ортогональные инварианты и полуинварианты.
Рассмотрим задачу упрощения уравнения квадрики с использованием ортогональным преобразованием системы координат. Отметим, что при ортогональной замене координат сохраняются метрические характеристики.
Опишем алгоритм приведения квадрики к простейшему виду ортогональным преобразованием.
Приводим квадратичную форму к главным осям ортогональным преобразованием . В результате получим уравнение квадрики , где , k – ранг матрицы A, а - ее ненулевые собственные числа.
Сдвигом начала координат при и при i>k приведем квадрику к виду , где . Если при i>k, то конец, а иначе перейдем на следующий шаг.
Положим . Система векторов - ортонормированная. Дополним ее до ортонормированного базиса всего пространства. Пусть T – матрица перехода к новому базису. Сделаем замену переменных . Очевидно, сделанная замена является ортогональной. В новой системе координат уравнение квадрики .
Оформим доказанное выше в виде теоремы.
Теорема 9.36. Ортогональным преобразованием, сдвигом начала координат и умножением на ненулевое число уравнение квадрики приводится к одному из следующих четырех видов , , , .
Обозначим через сумму всех главных миноров k-го порядка матрицы A. Величина является коэффициентом характеристического многочлена при .
Пусть квадрика ортогональным преобразованием x=h+Ty приводится к виду , где , , . Поскольку T ортогональная матрица, то , и, значит, , где k=1,…,n. Кроме того, , и, следовательно, . Тем самым установлен следующий факт.
Свойство 9.26 При ортогональном преобразовании не меняются следующие величины , где k=1,…,n, и , которые называются ортогональными инвариантами квадрики.
К сожалению, ортогональные инварианты не всегда позволяют установить простейший тип квадрики.
Свойство 9.27. Пусть и , тогда не меняется при ортогональном преобразовании.
Доказательство. При ортогональном преобразовании (без сдвига) величины не меняются. Пусть квадратичная форма приводится к главным осям ортогональной заменой координат . Пусть - ортогональное преобразование квадрики. Поскольку , то для доказательства утверждения достаточно рассмотреть случай, когда - диагональная матрица и преобразование заключается в сдвиге на вектор h начала координат. Если , то . В этой матрице единственный минор k порядка, не содержащий нулевых строк, определитель которого не зависит от сдвига. Следовательно, утверждение в данном случае доказано. Пусть , тогда . В этой матрице единственный минор k порядка, не содержащий нулевых строк, определитель которого не зависит от сдвига. Следовательно, утверждение и в данном случае доказано.
Величины называются полуинвариантами ортогонального преобразования.
Набор инвариантов и полуинвариантов квадрики позволяет однозначно установить простейшее уравнение квадрики.
9.4Ортогональная классификация кривых второго порядка
Теорема 9.37. Любая кривая второго порядка ортогонально эквивалентна одному из 9 классов кривых, приведенных в таблице. Приведенные кривые ортогонально не эквивалентны между собой.
Название кривой |
Каноническое уравнение кривой |
Эллипс |
|
Мнимый эллипс |
|
Гипербола |
|
Пара пересекающихся мнимых прямых |
|
Пара пересекающихся прямых |
, |
Парабола |
|
Пара параллельных прямых |
|
Пара параллельных мнимых прямых |
|
Пара совпавших параллельных прямых |
|
Доказательство. очевидно