7.5 Собственные векторы и собственные числа. Характеристическое уравнение.

Базис одномерного инвариантного подпространства называется собственным вектором. Другими словами, ненулевой вектор x называется собственным, если . Число называется собственным. Запишем это равенство в координатах , или . Последнее равенство можно рассматривать как квадратную систему линейных уравнений с n неизвестными. По правилу Крамера, если , то система имеет единственное нулевое решение. Следовательно, собственные числа являются корнями уравнения . Данное уравнение называется характеристическим. Обратно, если корень характеристического уравнения, то система имеет ненулевое решение, и значит, является собственным числом. Тем самым доказана теорема.

Теорема 7.22. Корнями характеристического уравнения являются только собственные числа. Все собственные числа являются корнями характеристического уравнения.

Коэффициенты характеристического уравнения не зависят от выбора базиса. Действительно, матрицы линейного преобразования в разных базисах связаны уравнением , откуда .

Собственные векторы для собственного числа принадлежат ядру линейного преобразования . Подпространство называется корневым подпространством, соответствующим собственному числу .

Приведем простые факты.

Следствие 7.16. Линейное преобразование линейного пространства над полем комплексных чисел имеет собственный вектор.

Доказательство. Над полем комплексных чисел характеристический многочлен имеет хотя бы один корень, а, значит, линейное преобразование имеет собственный вектор.

Следствие 7.17. Линейное преобразование линейного пространства над полем вещественных чисел имеет инвариантное подпространство размерности не выше 2.

Доказательство. Пусть - линейное преобразование пространства V над полем R. Если характеристический многочлен имеет вещественный корень, то утверждение леммы очевидно. На множестве определим операцию сложения и умножения на комплексное число . Множество относительно введенных операций сложения векторов и умножения на скаляр образует линейное пространство над C. Вектор x из V можно рассматривать как вектор из пространства , записанный в виде x+i0. Базис пространства V является базисом пространства , и, значит, размерности пространств V и совпадают. В пространстве рассмотрим линейное преобразование . Пусть - базис V. Тогда - базис и . Пусть - комплексное собственное число, а - соответствующий собственный вектор линейного преобразования . Тогда , и, значит, , . Линейная оболочка векторов x,y образует двумерное инвариантное подпространство.

7.6Коэффициенты характеристического уравнения. След матрицы.

Теорема 7.23. Коэффициент характеристического уравнения при равен .

Доказательство получается раскрытием определителя .

Сумма элементов матрицы A, расположенных на главной диагонали, называется следом матрицы. След матрицы является коэффициентом характеристического многочлена и не зависит от выбора базиса..

7.7 Диагонализируемые преобразования

Линейное преобразование называется диагонализируемым, если существует базис, в котором матрица линейного преобразования имеет диагональный вид. Заметим, что базис, в котором матрица линейного преобразования имеет диагональный вид, образован собственными векторами. Верно и обратное. В базисе из собственных векторов матрица линейного преобразования имеет диагональный вид. Не каждое линейное преобразование диагонализируемо. Например, линейное преобразование, заданное матрицей не диагонализируемо.

Теорема 7.24. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство. Пусть - линейно независимая система собственных векторов, соответствующих собственному значению , где i=1,…,s. Покажем линейную независимость системы векторов индукцией по s. При s=1 утверждение очевидно. Пусть оно верно для s-1. Покажем его справедливость для s. Допустим, система - линейно зависима. Тогда найдутся коэффициенты не все равные нулю, что . Из этого равенства выводим или . По предположению индукции все коэффициенты в этом равенстве равны 0, и, значит при i<s. Но тогда система - линейно зависима, что противоречит условиям теоремы. К полученному противоречию привело допущение о линейной зависимости системы векторов , значит, эта система линейно независима, что и требовалось доказать.

Рассмотрим вопрос о количестве линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному числу .

Геометрической кратностью собственного числа называется дефект преобразования , а алгебраической кратностью называется кратность корня в характеристическом многочлене.

Теорема 7.25. Геометрическая кратность не превосходит его алгебраической кратности.

Доказательство. Пусть геометрическая кратность равна k. Дополним базис ядра преобразования до базиса всего пространства . Матрица линейного преобразования в этом базисе имеет вид и характеристический многочлен равен . Таким образом, алгебраическая кратность не меньше геометрической кратности, что и требовалось доказать.

Теорема 7.26 Линейное преобразование линейного пространства V над числовым полем P диагонализируемо тогда и только тогда, когда характеристический многочлен раскладывается над полем P на линейные множители и алгебраическая кратность каждого корня совпадает с его геометрической кратностью.

Доказательство очевидно.