Вопросы для подготовки к коллоквиуму «Определители. Матрицы. Линейные пространства»

1. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.

2. Определители 2-го и 3-го порядка.

3. Перестановки: определение, свойства.

4. Подстановки: определение, свойства.

5. Определители n-го порядка: определение, свойства, в которых говорится о равенстве определителя нулю.

6. Определители n-го порядка: определение, свойства, в которых говорится, что определитель не изменится.

7. Дополнительные миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителя, в котором все элементы одной строки, кроме одного, равны нулю.

8. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца). Сумма произведений элементов одной строки на алгебраические дополнения элементов другой строки.

9. Теоремы Лапласа и Крамера.

10. Матрицы. Сложение матриц: определение, свойства.

11. Умножение матрицы на элемент поля Р: определение, свойства.

12. Умножение квадратных матриц. Определитель произведения двух матриц.

13. Обратная матрица.

14. Решение матричных уравнений.

15. Определение и примеры линейных пространств.

16. Арифметическое линейное пространство.

17. Линейно зависимые системы векторов: определение, свойства.

18. Линейно независимые системы векторов: определение, свойства.

19. Максимальная линейно независимая система векторов данного линейного пространства: определение, свойства. Максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов. Ранг системы векторов.

20. Базис линейного пространства: определение, примеры, свойства, размерность линейного пространства.

21. Координаты вектора в данном базисе: определение, свойства.

22. Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах.

23. Подпространства линейных пространств: определение, свойства, примеры. Линейная оболочка системы векторов.

24. Сумма и пересечение линейных подпространств. Теорема о размерности суммы двух конечномерных линейных подпространств. Прямая сумма.

25. Изоморфизм линейных пространств.

Вопросы для подготовки к экзамену

1. Комплексные числа: определение; алгебраическая форма, сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме; изображение комплексных чисел на евклидовой плоскости; модуль и аргумент комплексного числа; тригонометрическая форма комплексного числа; умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа, заданного в тригонометрической форме.

2. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.

3. Перестановки и подстановки: определение, свойства, чётные и нечётные перестановки и подстановки, умножение подстановок.

4. Определители n-го порядка: определение, свойства; дополнительные миноры и алгебраические дополнения; вычисление определителя, в котором все элементы одной строки, кроме одного, равны нулю. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца). Сумма произведений элементов одной строки на алгебраические дополнения элементов другой строки. Теоремы Лапласа и Крамера.

5. Матрицы. Сложение матриц: определение, свойства.

6. Умножение матрицы на элемент поля Р: определение, свойства.

7. Умножение квадратных матриц. Определитель произведения двух матриц.

8. Обратная матрица: определение, свойства, способ вычисления.

9. Решение матричных уравнений.

10. Линейные пространства: определение, примеры. Арифметическое линейное пространство. Доказать, что множество матриц одной и той же размерности с элементами из поля Р есть линейное пространство.

11. Линейно зависимые и независимые системы векторов: определение, свойства, примеры.

12. Максимальная линейно независимая система векторов данного линейного пространства: определение, свойства. Максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов. Ранг системы векторов.

13. Базис линейного пространства: определение, примеры, свойства, размерность линейного пространства. Размерности арифметического линейного пространства, пространства матриц и пространства многочленов R[х].

14. Координаты вектора в данном базисе: определение, свойства. Действия с векторами в координатах. Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах.

15. Подпространства линейных пространств: определение, свойства, примеры. Линейная оболочка системы векторов.

16. Сумма и пересечение линейных подпространств. Теорема о размерности суммы двух конечномерных линейных подпространств. Прямая сумма.

17. Изоморфизм линейных пространств: определение, свойства, примеры.

18. Столбцовый и строчный ранги матрицы: определение, теорема о столбцовом ранге матрицы, ранг матрицы, практическое правило вычисления ранга матрицы.

19. Теорема Кронекера-Капелли о системе линейных уравнений. Практическое правило решения системы линейных уравнений, общее и частное решения.

20. Пространство решений системы линейных однородных уравнений, фундаментальная система решений (ФСР), выражение общего решения через ФСР.

21. Связь решений системы линейных неоднородных уравнений и соответствующей системы линейных однородных уравнений.

22. Задание подпространств конечномерного линейного пространства с помощью систем линейных уравнений.

23. Линейные операторы: определение, примеры, свойства, сумма линейных операторов, умножение линейного оператора на элемент основного поля.

24. Матрица линейного оператора в данной паре базисов. Соответствие между всеми линейными операторами  : L_n  L_m и всеми матрицами порядка nm с элементами из основного поля.

25. Теорема о задании линейного оператора  : L_n  L_m базисом из L_n и упорядоченным набором n векторов из L_m .

26. Связь между координатами вектора и его образа при линейном операторе. Связь между матрицами линейного оператора в разных парах базисов.

27. Область значений и ядро линейного оператора: определение, свойства, примеры.

28. Линейные преобразования линейного пространства: определение, примеры, свойства.

29. Сумма линейных преобразований, умножение линейного преобразования на элемент поля Р. Линейное пространство, сопряжённое данному линейному пространству.

30. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования: определение, примеры, свойства.

31. Характеристический многочлен, характеристические корни и собственные значения квадратной матрицы.

32. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.

33. Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром.

34. Скалярное произведение векторов, его свойства. Определение и примеры евклидовых и унитарных пространств.

35. Матрица Грама в евклидовом пространстве: определение, свойства, формула для вычисления скалярного произведения.

36. Длина вектора, угол между векторами, ортогональность векторов в евклидовом пространстве: определение, примеры, свойства.

37. Ортогональные дополнения вектора и евклидова подпространства: определение, свойства, примеры.

38. Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве: определение, свойства, примеры. Теорема о том, что любой базис в конечномерном евклидовом пространстве можно ортонормировать. Скалярное произведение векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе.

39. Изоморфизм евклидовых пространств: определение, свойства, примеры.

40. Ортогональное линейное преобразование: определение, примеры, свойства. Ортогональная матрица.

41. Сопряжённые линейные преобразования: определение, свойства, примеры. Доказать, что для всякого линейного преобразования пространства Е_n существует сопряжённое.

42. Самосопряженные (симметрические) линейные преобразования: определение, примеры, свойства. Симметрические матрицы, их свойства.

43. Билинейные формы.

44. Квадратичные формы: определение, примеры. Матрица квадратичной формы. Матричная запись квадратичной формы. Канонический и нормальный вид квадратичной формы. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому и нормальному виду над полем R (над полем С).

45. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью выделения полных квадратов.

46. Ранг, положительный индекс инерции, дефект действительной и комплексной квадратичных форм. Закон инерции квадратичной формы.

47. Положительно определённые квадратичные формы: определение; необходимое и достаточное условие, при котором форма является положительно определённой; примеры.

48. Распадающиеся квадратичные формы: определение; необходимые и достаточные условия, при которых форма является распадающейся над полем R (над полем С).