- •Линейная алгебра
- •З.И.Андреева линейная алгебра
- •Введение
- •I.Системы линейных уравнений. Метод гаусса
- •II. Определители
- •2.1. Определители второго и третьего порядков
- •2.2. Перестановки и подстановки
- •2.3. Определители n-го порядка
- •III. Матрицы
- •3.1. Сложение матриц. Умножение матрицы на действительное (комплексное) число
- •3.2. Простые и двойные суммы
- •3.3 Умножение матриц
- •3.4. Умножение квадратных матриц одного порядка.
- •3.5. Решение матричных уравнений
- •IV. Линейные пространства
- •4.1. Алгебраические операции
- •4.2. Определение и примеры линейных пространств
- •4.3. Линейная зависимость и независимость векторов
- •4.4. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •4.5. Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах
- •4.6. Подпространства линейных пространств
- •4.7. Изоморфизм линейных пространств
- •V. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений
- •5.1. Ранг матрицы
- •5.2. Решение системы линейных уравнений с помощью ранга матрицы
- •5.3. Пространство решений системы линейных однородных уравнений
- •5.4. Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений
- •5.5. Задание подпространств конечномерного линейного пространства с помощью систем линейных уравнений
- •VI. Линейные операторы
- •6.1. Определение, примеры и свойства линейных операторов
- •6.2. Область значений и ядро линейного оператора
- •6.3. Матрица линейного оператора. Связь координат вектора и его образа
- •6.4. Связь матриц линейного оператора в разных парах базисов
- •6.5. Линейные преобразования линейного пространства
- •6.6. Невырожденные линейные преобразования
- •6.7. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
- •6.8. Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром
- •VII. Евклидовы пространства
- •7.1. Скалярное произведение векторов, его свойства. Определение и примеры евклидовых и унитарных пространств
- •7.2. Матрица Грама в евклидовом пространстве
- •7.3. Введение метрики в евклидовом пространстве
- •7.4. Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве
- •7.5. Изоморфизм евклидовых пространств
- •VIII. Некоторые виды линейных преобразований евклидовых пространств
- •8.1. Ортогональные линейные преобразования
- •8.2. Сопряженные линейные преобразования
- •8.3. Самосопряженные (симметрические) линейные преобразования
- •IX. Билинейные и квадратичные формы
- •9.1. Линейные формы
- •9.2. Билинейные формы
- •9.3. Квадратичные формы
- •9.4. Закон инерции квадратичных форм
- •9.5. Положительно определённые квадратичные формы
- •9.6. Распадающиеся квадратичные формы
- •Вопросы для подготовки к коллоквиуму «Определители. Матрицы. Линейные пространства»
- •Вопросы для подготовки к экзамену
- •Литература
II. Определители
2.1. Определители второго и третьего порядков
Одним из источников появления определителей 2-го и 3-го порядков являются системы двух и трёх линейных уравнений с двумя и соответственно тремя переменными.
Пусть дана система (1)
Если обе части первого уравнения умножить на , а второго – на и уравнения почленно вычесть, то получим Аналогично, если первое уравнение умножить на и вычесть из него второе уравнение, умноженное на , то получим Если 0, то х = у = . Выражения, стоящие в числителях и знаменателях полученных формул, имеют одинаковую структуру. Для их составления используется четыре числа. Если числа, используемые для знаменателя, записать в виде матрицы , то знаменатели получаются по правилу: из произведения элементов одной диагонали таблицы вычитается произведение элементов второй диагонали. Используя отмеченное правило, введём понятие определителя.
Для матрицы диагональ, на которой стоят элементы , называется главной диагональю, вторая диагональ называется побочной диагональю.
Определение 2. Определителем 2-го порядка (определителем матрицы ) называется число, равное разности произведения элементов главной диагонали и произведения элементов побочной диагонали.
Определитель матрицы обозначается .
Обозначим = , 1 = , 2 = . Используя определение 2, получим, что система (1) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда 0. Это решение можно найти по формулам х = , у = (2). Эти формулы называются формулами Крамера.
Пусть дана система трёх уравнений с тремя неизвестными:
(3)
Умножим первое уравнение на , второе уравнение – на , третье уравнение – на и почленно сложим. Получим х =
= . Легко заметить, что коэффициент при х и правая часть составлены из девяти чисел по одному и тому же закону.
Пусть дана матрица А = .
Определение 3. Определителем матрицы А (определителем третьего порядка) называется число, равное = (4).
Равенство (4) называется разложением определителя по элементам первого столбца. Итак, вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка. Если вычислить определители второго порядка, входящие в формулу (4), то получим, что (5).
Используя последнюю формулу, непосредственным вычислением можно получить:
1. Определитель не изменится, если в нём строки и столбцы поменять местами (эту операцию называют транспонированием определителя). Следовательно в определителе строки и столбцы равноправны..
2. = .
Итак, определитель можно разлагать по любому столбцу. Можно заметить, что знак перед множителем равен . Так как в определителе строки и столбцы равноправны, то аналогичные разложения имеют место и по любой строке определителя (запишите их самостоятельно).
3. Если в определителе одна из строк (или столбцов) целиком состоит из нулей, то определитель равен нулю.
4. Системы (3) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда 0. Это решение можно найти по формулам: х = , у = , (6),
где 1, 2, 3 получаются из определителя заменой первого, второго, третьего столбца соответственно столбцом свободных членов. Формулы (6) тоже называются формулами Крамера.