4.5. Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах

Пусть L – линейное пространство над полем Р и пусть в нём зафиксированы два базиса е = (е₁, е₂, … , е_n ) и е¹ = (е₁¹, е₂¹, … , е_n¹ ). Пусть

(23)

Если ввести матрицу Т = ,

то систему (23) можно записать в матричном виде е1 = еТ (24).

Матрица Т называется матрицей перехода от базиса е к базису е¹. Так как векторы е₁¹, е₂¹, … , е_n¹ линейно независимы, то матрица Т невырожденная.

Если вектор а в базисе е имеет координаты х = (₁, ₂, … , _n)^Т, а в базисе е¹ его координаты х¹ = (₁, ₂,…, _n)^Т, то а = ех и а = е¹х¹. отсюда ех = е¹х¹. Используя формулу (24), получим ех = (еТ)х¹ = е (Тх¹). Отсюда х = Тх¹ (25). Формула (25) даёт связь координат одного и того же вектора в разных базисах. Её называют формулой преобразования координат.

Пример. Пусть е = (е₁, е₂, е₃ , е₄ ) – базис в пространстве L₄. Пусть е₁¹ = 2е₁ – 3е₃ , е₂¹ = е₂ + е₄ , е₃¹ = 4е₁ + е₂ – е₄ , е₄¹ = е₂ + 3е₃ – е₄ ; е₁¹¹ = е₁ + е₂ , е₂¹¹ = е₁ – е₃ , е₃¹¹ = е₃ + е₄ , е₄¹¹ = е₃ – е₄ . Покажите, что е¹ = (е₁¹, е₂¹, … , е_n¹ ) и е¹¹ = (е₁¹¹, е₂¹¹, … , е_n¹¹ ) являются базисами в L.. Вектор а в базисе е¹ имеет координаты (1, 4, –2, 5). Найдите координаты этого вектора в базисе е¹¹.

Решение. Составим определители матриц перехода Т₁ и Т₂ от базиса е к е¹ и е¹¹ соответственно.

Т1 = ,

Т2 = ,

Т1= =–12

Т₂ = = 2. Так как матрицы Т₁ и Т₂ невырожденные, то е¹ и е¹¹ – базисы.

Из формулы (25) следует х = Т₁х¹, х = Т₂х¹¹. Отсюда Т₁х¹ = Т₂х¹¹, х¹¹ = (Т₂^-1Т₁)х¹.

Найдём Т₂^-1. Для этого вычислим все алгебраические дополнения элементов матрицы Т₂.

А₁₁= 0, А₁₂ = – = 1, А₁₃ = = 1, А₁₄ = – = 1, А₂₁ = – , А₂₂ = = –2, А₂₃ = – = –1, А₂₄ = = –1, А₃₁ = = 0, А₃₂ = – = 0, А₃₃ = = 1, А₃₄ = – = –1, А₄₁ = – = 0, А₄₂ = = 0. А₄₃ = – = 1, А₄₄ = = –1. Используя найденные алгебраические дополнения, получим Т₂^-1 = . Следовательно, = = . Итак, в базисе е¹¹ данный вектор имеет координаты ( –10; 0; –17).

4.6. Подпространства линейных пространств

Определение 22. Подпространством линейного пространства называется такое множество его элементов, которое само является линейным пространством над тем же полем.

Теорема 14. Непустое множество элементов В  L является линейным подпространством в L тогда и только тогда, когда для любых двух элементов в₁ и в₂ из В и любого  Р выполняются условия: в₁ + в₂  В и в₁  В.

Доказательство.  Если В – линейное подпространство, то условия теоремы, очевидно, выполнены.

 Если условия теоремы выполняются, то возьмём любой элемент в  В. Тогда (–1)в = –в принадлежит В. Итак, в В для каждого элемента есть противоположный. Но тогда и в + (–в) тоже принадлежит В, т.е. 0  В. Остальные требования определения 14 выполняются очевидно. Следовательно, В – линейное пространство над тем же полем, что и L.

Примеры линейных подпространств.

1. Пусть а₁, а₂, … , а_к – любая система векторов из L. Множество всех линейных комбинаций этих векторов (т.е. элементов вида ₁а₁ + ₂а₂ + … + _ка_к) называется линейной оболочкой данной системы векторов и обозначается а₁, а₂, … , а_к, или L(а₁, а₂, … , а_к). Линейная оболочка любой конечной системы векторов из L является линейным подпространством в L.. Одним из базисов линейной оболочки является максимальная линейно независимая подсистема системы а₁, а₂, … , а_к. Следовательно, размерность линейной оболочки равна рангу этой системы.

2. Множество многочленов степени не выше к (к  n) с коэффициентами из поля Р является линейным подпространством в пространстве многочленов степени не выше n.

3. Множество компланарных геометрических векторов является линейным подпространством в пространстве всех геометрических векторов трёхмерного евклидова пространства.

4. Нулевой вектор является линейным подпространством в том линейном пространстве, которому он принадлежит.

5. Множество диагональных матриц порядка n является линейным подпространством во множестве квадратных матриц порядка n.

Пусть А и В – два линейных подпространства пространства L .

Определение 23. Суммой подпространств А и В называется множество всех возможных элементов вида а + в, где а  А, в  В. (Обозначение А + В)

Теорема 15. Сумма линейных подпространств из L есть линейное подпространство из L.

Доказательство. Пусть а₁ + в₁ и а₂ + в₂ – любые два элемента из А + В. Тогда (а₁ + в₁) + (а₂ + в₂) = (а₁ + а₂) + (в₁ + в₂)  А + В, так как а₁ + а₂  А, в₁ + в₂  В. Кроме того (а + в) = а + в  А + В, так как а  А, в  В. Следовательно, по теореме 14 сумма А + В является линейным подпространством в L.

Теорема 16. Пересечение линейных подпространств из L есть линейное подпространство из L.

Доказательство проведите самостоятельно.

Теорема 17. Размерность суммы двух линейных подпространств равна сумме размерностей слагаемых минус размерность их пересечения.

Доказательство. Пусть С = А + В, где А и В линейные подпространства пространства L. Пусть D = А  В. Выберем базис d = (d₁, d₂, … , d_к) в подпространстве D и дополним его векторами е = (е_1, е₂, … , е_m) и f = (f₁, f₂ … , f_s) так, чтобы система (е_1, е₂, … , е_m , d₁, d₂, … , d_к) была базисом в подпространстве А, а система (d₁, d₂, … , d_к, f₁, f₂ … , f_s ) была базисом в В. Покажем, что система (е_1, е₂, … , е_m , d₁, d₂, … , d_к , f₁, f₂ … , f_s) является базисом в подпространстве С. Если с  С, то с = а + в. Так как а  А, то а есть линейная комбинация векторов систем е и d. Так как в  В, то в есть линейная комбинация векторов систем d и f . Но тогда с линейно выражается через векторы е, d и f . Остаётся показать, что система векторов (е_1, е₂, … , е_m , d₁, d₂, … , d_к , f₁, f₂ … , f_s) линейно независима. Для этого рассмотрим ₁е₁ + ₂е₂ + … + _mе_m + ₁d₁ + ₂d₂ + ... + _кd_к + ₁f₁ + ₂f₂ + … + _sf_s = 0. Вектор а = ₁е₁ + ₂е₂ + … + _mе_m + ₁d₁ + ₂d₂ + ... + _кd_к лежит в подпространстве А. Но в то же время а = – ₁f₁ – ₂f₂ – … – _sf_s . Следовательно, а  В. Итак, а  D . Если бы а не был нулевым вектором, то он не мог бы выражаться через векторы системы f . Следовательно, – ₁f₁ – ₂f₂ – … – _sf_s = 0. Так как векторы системы f линейно независимы, то ₁= ₂= …= _s = 0. Но тогда ₁е₁ + ₂е₂ + … + _mе_m + ₁d₁ + ₂d₂ + ... + _кd_к = 0. Так как система векторов (е, d ) линейно независима, то отсюда следует, что ₁ = ₂ = … = _m = ₁ = ₂ = … = _к = 0. Итак, система (е_1, е₂, … , е_m , d₁, d₂, … , d_к , f₁, f₂ … , f_s) является базисом в подпространстве С. Отсюда dim C = m + k + s = (m + k) + (k + s) – k = dim A + dim B – dim D .