2.5. Вычисление работы переменной силы

Пусть тело движется под действием некоторой переменной силы F по прямой, причем направление силы совпадает с направлением движения, а работа А, произведенная силой F при перемещении тела из т.х=а по прямой ОХ в точку х=b той же прямой, может быть выражена (в случае когда F=F(x) есть непрерывная функции на [a; b]) с помощью определенного интеграла следующим образом:

. (1)

Пример 13. Рессора прогибается под нагрузкой 1,5 т на 1 см. Какую работу надо затратить для деформации рессора на 3 см? (Сила деформации пропорциональна величине деформации).

Решение: обозначим через х – величину деформации, т.к. F=kx, где k - коэффициент пропорциональности (коэффициент жесткости).

Известно, что при х=0,01 м F=1,500 (Н),

то , следовательно, .

По формуле (1) работа .

2.6. Вычисление центра тяжести плоской линии

Пусть на плоскости дана дуга АВ материальной линии, уравнение которой y=F(x), где F(x) - непрерывная на отрезке [a; b] функция, имеющая непрерывную производную

Координаты центра тяжести будут:

; , где s – длина дуги;

- дифференциал длины дуги (формула получена ранее).

Статические моменты дуги АВ:

; .

Если дуга АВ расположена симметрично относительно некоторой прямой, то ее центр тяжести непременно лежит на этой прямой.

Пример 14. Найти центр тяжести дуги, составляющей четверть окружности радиуса В.

Выбираем систему координат, как указано на рисунке. Уравнение окружности: , откуда ; ; .

Длина четверти окружности , т.к. дуга АВ симметрична относительно биссектрисы.

Если координаты угла y=x, то х=у, найдем у:

.

Ответ: .

2.7. Центр тяжести плоской фигуры

Рассмотрим плоскую материальную фигуру, ограниченную прямыми х=а, x=b (a<b) и кривыми y= , , где функции и непрерывны на и :

, , где (площадь фигуры).

Если фигура ограничена осью ОХ, прямыми х=а, х=b и кривой y=f(x), где f(x) – неотрицательная непрерывная на отрезках [a; b] ф ункция, то полученные формулы будут проще:

; .

Если фигура располагается симметрично относительно некоторой прямой, то центр тяжести ее лежит на этой прямой.

Пример 15. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кривой и осями координат.

Т.к. данная фигура симметрична относительно биссектрисы I координатам угла, то ее центр тяжести лежит на этой прямой у=х, и следовательно, ;

Ответ:

3. Задания для самостоятельной работы

Задача I.

1. Вычислить (внесение функции под знак дифференциала).

1.1. 1.2.

1.3. 1.4.

1.5. 1.6.

1.7. 1.8.

1.9. 1.10.

1.11. 1.12.

1.13. 1.14.

1.15. 1.16.

1.17. 1.18.

1.19. 1.20.

1.21. 1.22.

1.23. 1.24.

1.25. 1.26.

1.27. 1.28.

1.29. 1.30.

Задача 2.

Вычислить применением метода интегрирования по частям.

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

2.9. 2.10.

2.11. 2.12.

2.13. 2.14.

2.15. 2.16.

2.17. 2.18.

2.19. 2.20.

2.21. 2.22.

2.23. 2.24.

2.25. 2.26.

2.27. 2.28.

2.29. 2.30.

Задача 3.

Вычислить универсальной подстановкой.

3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

3.5. 3.6.

3.7. 3.8.

3.9 3.10.

3.11. 3.12.

3.13. 3.14.

3.15. 3.16.

3.17. 3.18.

3.19. 3.20.

3.21. 3.22.

3.23. 3.24.

3.25. 3.26.

3.27. 3.28.

3.29. 3.30.

Задача 4. (подстановкой)

4.1. 4.2.

4.3. 4.4.

4.5. 4.6.

4.7. 4.8.

4.9. 4.10.

4.11. 4.12.

4.13. 4.14.

4.15. 4.16.

4.17. 4.18.

4.19. 4.20.

4.21. 4.22.

4.23. 4.24.

4.25. 4.26.

4.27. 4.28.

4.29. 4.30.

Задача 5.

Вычислить площадь плоской фигуры.

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой , прямыми х=-0,5, х=1 и осью абсцисс.

2. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой , прямыми , и осью ординат.

3. Найти площадь фигуры, заключенной между окружностью и прямыми 2у-5=0,

4. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом , прямой и осью ординат.

5. Найти площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы и прямыми х=1; х=5.

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой и осью абсцисс от до .

7. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой , прямыми , х=е и осью абсцисс.

8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми х=-1, х=3 и осью абсцисс.

9. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой , осями координат и прямой х=4.

10. Найти площадь фигуры, заключенной между прямыми у=2х, у=5х, х=2, х=6.

11. Найти площадь части гиперболы , отсекаемой от нее прямой х+у-4=0.

12. Найти площадь фигуры, отсекаемой от параболы прямой 5х-у-8=0.

13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой у=х.

14. Найти площадь фигуры, заключенной между параболами и .

15. Вычислить площадь фигуры, заключенной между параболами и .

16. Вычислить площадь фигуры, заключенной между кривыми и .

17. Найти площадь сегмента, отсекаемого прямой х+у-4=0 от круга, ограниченного окружностью . Проверить результат непосредственным вычислением.

18. Найти площадь фигуры, заключённой между параболой , касательной к ней в точке (3, 5) и осью Оу.

19. Найти площадь фигуры ограниченной линиями

20. Найти площадь фигуры, заключённой между параболой и касательными к ней в точках (0;-3) и (3;0).

21. Найти площадь фигуры ограниченной линиями

22. Вычислить площадь фигуры, заключённой между линиями

23. Найти площадь фигуры ограниченной линиями

24. Вычислить площадь фигуры, заключённой между линиями

25. Найти площадь фигуры, отсекаемой от параболы прямой

26. Вычислить площадь фигуры, заключенной между кривыми

27. Найти площадь фигуры ограниченной линиями

28. Вычислить площадь фигуры, заключённой между линиями

29. Вычислить площадь фигуры, заключенной между кривой и прямыми , где

30. Найти площадь фигуры ограниченной линиями

Задача 6.

Вычислить длину дуги.

6.1. y² = x³ от х=0 до х=5

6.2. y=ln sinx от х= до х=

6.3. 2у= x² -3 между точками пересечения с осью Ox

6.4. x= - t, y=t²+2 от t=1 до t=4

6.5. x=4(t-sint), y=4(1-cost) (длину дуги одной арки циклоиды)

6.6. =5sin

6.7. =sin³ от =0 до

6.8. y=lnx от х= до x=2

6.9. x= , y=2- (между точками пересечения с координатными осями)

6.10. (длину первого витка спирали Архимеда)

6.11. x= cost, y= sint от t=0 до t=ln

6.12. =1-cos

6.13. =2sin

6.14. =2sin³

6.15. x +y =9

6.16. =1+cos

6.17. x= - от y=1, до y=2

6.18. y= от x=-a, до x=a

6.19. x=acos³t; y=asin³t, от t=0 до t=2

6.20. =2acos

6.21. x=8sint+6cost; y=6sint-8cost, от t=0 до t=

6.22. 9y²=x(x-3)² между точками пересечения с осью OX

6.23. y=ln(1-x²), заключенной между прямыми x= и x=

6.24. y²= (x-1)² , заключенной внутри параболы y²=

6.25. y²=x³, отсеченной прямой x=

6.26. x=e^tsint, y=e^tcost от t=0 до t=

6.27. =acos⁴

6.28. =

6.29. Найдите периметр фигуры, ограниченной линиями x²=(y+1)³ и y=4

6.30. Найдите длину кривой, заданной уравнением y=

Задача 7.

7.1. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной дугой кубической параболы y=x³-4x и осью абсцисс.

7.2. Определить объём тела, полученного в результате вращения вокруг оси ОХ фигуры, которая ограничена дугой окружности х²+y²=16, лежащей в I четверти, и прямыми х=1 и х=3.

7.3. Найти объём тела, образованного вращением эллипса 4x²+9y²=36 вокруг малой оси.

7.4. Фигура, ограниченная дугой эллипса и двумя прямыми, перпендикулярными к оси абсцисс и проходящими через фокусы эллипса, вращается вокруг оси ОХ. Определить объём тела вращения.

7.5. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной ветвью гиперболы x²-y²=1 и прямой х=3.

7.6. Найти объем тела, образованного вращением астероиды x=acos³t, y=asin³t вокруг оси ОХ.

7.7. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды х=a(t-sint), y=a(1-cost) и отрезком оси абсцисс.

7.8. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами y=2x² и y=x³.

7.9. Фигура, образованная в результате пересечения параболы y²=4x и прямой y=x, вращается вокруг оси Ох. Найти объём тела вращения.

7.10. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболой y²=2x и прямой 2х+2у-3=0.

7.11. Вычислить объем тела, образованного вращением общей части парабол y=x² и y²=8x: а)вокруг оси Ох; б)вокруг оси Оу.

7.12. Фигура, ограниченная кривыми y=tgx, y=ctgx и прямой x= , вращается вокруг оси OX. Найти объем тела вращения.

7.13. Найти объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси OX сегмента, отсекаемого прямой х+у-2=0 от круга, граничная окружность которого x²+y²=4

7.14. Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОY фигуры, ограниченной кривыми y=log₂x, y=log₄x и прямой y=1.

7.15. Фигура, лежащая в I четверти и ограниченная дугой окружности x²+y²=18, параболой 3y=x² и осью ординат, вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.

7.1б. Фигура, лежащая в I четверти и ограниченная кривыми x²-у² = 3, xy=2 и прямой x=3 вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.

7.17. Круг радиуса 2 с центром в т. (7,0) вращается вокруг оси ОY. Определить объем полученного тела вращения.

7.18.Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой y²=

7.19.Найдите объем тела. образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной эллипсом

7.20.Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной кривой и прямыми y= и y=

7.21. Найдите объем, тела, полученного при вращении вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и дугой параболы х=у(4-х).

7.22. Найдите объем тела. подученного от вращения вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=xe^x, y=0, x=1.

7.23. Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной кривой x²+y2/3=1

7.24. Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями (y-3)²+3x=0, x=-3, вокруг оси абсцисс.

7.25. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями xy=4, x=1, x=4, y=0, вокруг оси Ох.

7.26. Вычислить объем тела, полученного вращением астроиды вокруг оси ординат.

7.27. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох одной полуволны синусоиды y=sinx.

7.28. Определить объем тела, отсеченного от круглого цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания. Радиус основания равен R, высота тела равна Н.

7.29. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой x=2(t-sint), y=2(1-cost) и отрезком [0;4 ] оси Ох.

7.30. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями y=x², 9y=x² и y=1.

Задача 8.

8.1. Параболы y²=4ax от х=0 до х=8

8.2. Прямой у=3х от х=1 до х=3

8.3. Одной полуволны косинусоиды у=cosx.

8.4. Окружности х=acost, y=asint.

8.5. Астроиды х=acos³t, y=asin³t.

8.6. Цепной линии y= от х=0 до х=2

8.7. Параболы y²=3+x, отсеченной прямой x=3

8.8. Полукубической параболы x= между точками пересечения с осями координат.

8.9. Синусоиды y=sinx от х=0 до х=

8.10. Астроиды

8.11. Круга вокруг оси Ох.

8.12. Цепной линии от х=-а до х=а (а>0).

8.13. Петли кривой х=9t², y=3t-9t³.

8.14. Кардиоиды вокруг полярной оси.

8.15. Кривой вокруг полярной оси.

8.16. Кривой вокруг полярной оси.

8.17. Кривой x²+y(y-2b)=0 вокруг оси Оу.

8.18. Найти поверхность кольца, образованного вращением круга x²+(y-b)²=a² вокруг оси Ох.

8.19. Кривой х²+у²=4х-3 вокруг оси Оу.

8.20. Кривой оси Ох.

8.21. Кривой х²+у²=6х-5 вокруг оси Оу.

8.22. Кривой 8у=х² вокруг оси Оу от т.(0;0) до т.(4;2).

8.23. Кривой вокруг полярной оси.

8.24. Кривой x=cos³t, y=sin³t вокруг оси Оу.

8.25. Кривой х²+у²=6у-5 вокруг Ох.

8.26. Кривой х²+у²=4у-3 вокруг Ох

8.27. Кривой 4х=у² (Ох) от т.(0;0) до т.(3

8.28. Кривой вокруг оси Оу.

8.29. Кривой х=3(t-sint) y=3(1-cost) от т.(0;0) до т.(6 ;0)

8.30. Лемнискаты вокруг полярной оси.

Задача 9.

9.1. Найти силу давления жидкости на вертикальную треугольную пластинку с основанием а и высотой h, погруженную в жидкость так, что вершина пластинки лежит на поверхности.

9.2. Скорость точки меняется по закону. Найти путь, пройденный точкой за первые девять секунд после начала движения.

9.3. Автомобиль, двигающийся со скоростью 48м/с., начинает тормозить и останавливается через 3с. Найти путь, пройденный автомобилем до полной остановки.

9.4. Реактивный самолет в течение 20с увеличил свою скорость от 360 до 720 м/с. Считая его движение равноускоренным, найти с каким ускорением летел самолет и какое расстояние пролетел он за это время.

9.5. С высоты 294м вертикально вниз брошено тело с начальной скоростью 19,6 ^M/с. Через сколько секунд тело упадет на землю? ( Ускорение силы тяжести принять равным 9,8м/с)

9.6. Найти работу, производимую при растяжении пружины на 5см, если известно, что сила, которая требуется для растяжения пружины, пропорциональна ее удлинении и что для удлинения пружины на I см требуется сила 1H.

9.7. Какую работу нужно затратить, чтобы выкачать воду из цилиндрического резервуара, радиус основания которого равен 3м, а высота равна 5m?

9.8. Найти работу, необходимую для выкачивания воды из конической воронки, обращенной вершиной вниз, если высота ее равна Н, а радиус основания r. Как изменится результат, если воронка будет обращена вершиной вверх?

9.9. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы выкачать воду из котла, имеющего форму полушара с радиусом, равным 1м.

9.10. Найти работу, необходимую для выкачивания воды из котла, имеющего форму полуцилиндра с радиусом основания r и высотой H.

9.11. Найти силу давления воды на прямоугольные ворота шлюза, ширина которых 25м, а глубина 18м, если их верхняя грань лежит на свободной поверхности воды. Определить также силу давления на нижнюю половину ворот шлюза.

9.12. Вычислить силу давления жидкости на вертикальный треугольный щит с

основанием а и высотой h, погруженный жидкость так, что основание щита лежит на её свободной поверхности.

9.13. Найти силу давления на плоскость полукруга с радиусом 6см, погруженного в воду вертикально, если его диаметр лежит на свободной поверхности воды.

9.14. Вертикальная пластина имеет форму трапеции, верхнее и нижнее основания которой соответственно равны 80см и 50см, а высота 20м. Вычислить силу давления на всю плотину.

9.15. Определить массу стержня длины 50см, если его линейная плотность меняется по закону , где x – расстояние от одного из концов стержня.

9.16. Цилиндр с высотой 80см и радиусом основания 12см наполнен газом под давлением 1 .Какую работу надо затратить при изометрическом сжатии газа до объема в два раза меньшего?(применяем закон Бойля-Мариотта).

9.17. Найдите статистические моменты дуги параболы y²=2x(y>0), заключенной между прямыми х=0,х=2, относительно осей Ох и Оу.

9.18. Найти статистический момент дуги астероиды лежащей в первом квадрате, относительно оси Оу.

9.19. Найти координаты центра тяжести фигуры, заключенной между кривой и осями координат.

9.20. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной правой петлей лемнискаты Бернулли .

9.21. Найти К.Ц.Т. фигуры, ограниченной кардиоидой .

9.22. Найдите центр тяжести фигуры, ограниченной замкнутой кривой y²=ax³-x⁴.

9.23. Найти статический момент (относительно оси Ох) фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды x=a(t-sint), y=a(1-cost).

9.24. Найти работу, необходимую для того, чтобы вытащить из воды шар радиусом 3м и удельным весом ,погруженный в воду так, что он касается ее поверхности.

9.25. Найти работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду из корыта, имеющего форму полуцилиндра. Радиус цилиндра 2м, длина 6м.

9.26. Найти работу, необходимую для того, чтобы вытащить из воды конус, подвешенный на канате так, что вершина его находится на поверхности воды. Удельный вес конуса , радиус основания 2м, высота 6м.

9.27. Найти работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду из полусферического сосуда, диаметр которого равен 20м.

9.28. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры,

ограниченной дугой эллипса , расположенной в первой четверти, и осями координат.

9.29. Найти К.Ц.Т. однородной плоской фигуры, ограниченной параболой x²+4у-16=0 и осью Ох.

9.30. Найти К.Ц.Т. однородной плоской фигуры, ограниченной параболами y²=20x, X²=20y.

Задача 10.

Вычислить несобственный интеграл (исследовать его сходимость).

10.1.

10.2.

10.3.

10.4.

10.5.

10.6.

10.7.

10.8.

10.9.

10.10.

10.11.

10.12.

10.13.

10.14.

10.15.

10.16.

10.17.

10.18.

10.19.

10.20.

10.21.

10.22.

10.23.

10.24.

10.25.

10.26.

10.27.

10.28.

10.29.

10.30.