2.1.3. Площадь в полярных координатах
Пусть в полярной системе
координат дана кривая, уравнение
которой
,
где
- непрерывная функция
при
.
Требуется вычислить площадь криволинейного
сектора, ограниченного радиусами –
векторами ОА и ОВ (для которых соответственно
)
.
Если плоская фигура ограничена
несколькими кривыми, уравнения которых
заданы в полярных координатах, то
вычисления площади такой фигуры стараются
свести к вычислению алгебраической
суммы площадей криволинейных секторов.
Следовательно, будем иметь
.
(т.е. из площади криволинейного
сектора, ограниченного
,
отнимаем площади криволинейных секторов,
ограниченных линиями
,
)
2.2. Вычисление объемов тел
2. 2. 1.Вычисление объема тела по площади поперечногo сечения
Пусть дано тело произвольной формы, заключенное между плоскостями x=a и x=b. Кроме того, пусть известна площадь любого поперечного сечения (т.е. площадь сечения, образованного плоскостью перпендикулярной к оси ОХ - тела). Требуется вычислить объем этого тела.
,
где S
– площадь поперечного сечения.
2.2.2. Объем тела вращения
Пусть вокруг оси ОХ
вращается криволинейная
трапеция, ограниченная осью ОX,
прямыми x=a
и x=b
и кривой
,
где
- непрерывная, неотрицательная на отрезке
[a;
b]
функция. Тогда эта криволинейная трапеция
опишет тело, являющееся телом вращения.
Пример 8. Вычислить объем тела, образованного
вращением вокруг оси ОХ фигуры,
ограниченной двумя ветвями кривой
и прямой х=1.
Решение:
искомый объем получается как разность
двух объемов, получающихся при вращении
вокруг оси ОХ двух криволинейных
трапеций, ограниченных сверху
соответственно кривыми
и
.
Область определения функции
2.3. Вычисление длины дуги
2.3.1. Длина дуги в полярных координатах
Пусть на плоскости XOY дана кривая, уравнение которой y=f(x), где f(x) – непрерывная на отрезке [a, b] функция.
Пусть производная
этой функции также непрерывная функция
на отрезке [a,b].
.
Пример 9. Вычислить длину дуги кривой
между точками пересечения ее с осью ОХ.
Решение:
у=0,
,
.
Т.к. у в четной степени, то кривая симметрична относительно оси ОХ.
ОДЗ:
.
,
:
2.3.2. Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями , , где
Пусть функции
,
- непрерывные на
функции, с непрерывными производными
;
,
.
.
Пример 10. Вычислим длину траектории
,
от
до
.
Решение:
;
2.3.3. Длина дуги в полярных координатах
Пусть в полярной системе координат дана
кривая, уравнение которой
,
где
.
Функция
имеет непрерывную производную на
сегменте
.
Пример 11. Найти всю длину кривой
.
Решение:
.
Здесь имеем
при
и при
.
2.4. Площадь поверхности вращения
Требуется вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой y=f(x), где f(x) – непрерывная на функция, вокруг оси ОХ.
Пусть функция f(x)
имеет непрерывную производную
на отрезке
.
Если дуга АВ задана параметрическими уравнениями, то
.
Пример 12. Определить площадь поверхности,
образованной вращением вокруг оси ОХ
дуги кривой
,
отсеченной прямой х=2.
Решение:
,
:
