I.2) Построение дополнительной обратной связи

Теоретическая основа

Известно, что введение в систему с передаточной функцией общей отрицательной обратной связи изменяет передаточную функцию системы на . (1*)

Расположение корней характеристического уравнения системы при этом изменяется.

Если многочлены являются взаимно простыми, тогда многочлены , определяющие вид обратной связи, могут быть выбраны так, чтобы характеристический многочлен замкнутой системы имел произвольные наперед заданные коэффициенты, т.е. произвольное расположение корней.

Т.е. из формулы (1*) имеем: характеристический полином передаточной функции замкнутой системы имеет вид: (2*) . Если - многочлен с желаемым расположением корней, то могут быть найдены из (2*) методом неопределенных коэффициентов.

Или можно воспользоваться процедурой Diophantine(g,d). Однако, следует заметить, что при реализации могут возникнуть следующие проблемы:

Порядок системы после введения обратной связи изменяется на ,что не всегда допустимо, (m-порядок a(s),n=deg(b(s)))
Cистема после введения обратной связи должна оставаться физически реализуемой т.е. степень полинома в числителе преобразованной системы не должна превышать степени знаменателя,

Опыт.

Итак, мы имеем передаточную функцию

8(s+2)

H11(s) = ——————————————————————————————— (4*)

s^4 +25s^3 +143s^2 +344s +556

Наша задача, подобрать параметры так, чтобы все корни лежали в левой полуплоскости и Для этого вводим общую обратную связь, определяем вид передаточной функции для обратной связи, и ,пользуясь методом неопределённых коэффициентов вычисляем передаточную функцию замкнутой системы.

NB!! Процедура Diophantine в данном случае неуместна. Она повысит степень до 5,что уже абсурдно для нас. Поэтому можно сделать небольшой вывод: процедура уместна в том случае ,если в числители исходно передаточной стоит полином 0-ой степени- константа.

В H11 числитель a(s) имеет порядок 1, а знаменатель b(s) -4. После проведения процедуры в числителе должна сохранится 1 степень, а в знаменателе соответственно 4.Исходя из вида (1*) передаточной функции замкнутой системы, числителя и знаменателя передаточной (4*).Составляем вид d(s).

С другой стороны d(s)-характеристический многочлен Wзам, корни которого мы определяем сами. Зададим корни характеристического полинома, не совпадающие с нулями числителя и удовлетворяющие условию ( ):

Тогда, с учетом вида передаточной функции замкнутой системы, и требованием того, чтобы степени сохранялись делаем вывод о виде числителя и знаменателя передаточной обратной(x(s),y(s)).Очевидно, что учитывая, тот факт что в числителе д.б. второй порядок, а a(s) уже таковой имеет, то y(s) имеет нулевой порядок-константа. Аналогичным образом выводится утверждение о порядки y(s).Запишем сказанное в виде формул: