1. Классическое, статистическое и геометрическое определение

вероятности

Определение. Событие называется случайным, если при определенных условиях оно может произойти или не произойти.

Пример. При подбрасывании монеты один раз нельзя сказать упадет ли она «гербом» вверх или нет.

Вместе с тем, если бросать монету многократно, то можно обнаружить определенную закономерность в появлении «герба».

Так, французский естествоиспытатель Бюффон Жорж Луи Леклерк (Buffon Georges Lois Leclerc (1707– 1788)) – французский естествоиспытатель подбрасывал монету 4040 раз. В результате «герб», как гласят учебники по теории вероятности [], появился 2048 раз.

Ж.Бюффон

Английский математик и философ Карл Пирсон (Чарльз) (Pearson Karl (Charles) (1857–1936)) дважды проводил эксперимент по подбрасыванию монеты. В первом он бросал монету 12000 раз. «Герб» выпал 6019 раз. 24000 раз он подбрасывал монету во втором эксперименте. «Герб» выпал 12012 раз.

К.Пирсон

В результате этих и подобных им экспериментов были сформулированы следующие определения.

Определение. Испытание – комплекс условий, при которых случайное событие может произойти или не произойти.

Определение. Пусть производится n испытаний, причем m – число тех испытаний, при которых событие А произошло. В этом случае относительной частотой события А называют отношение числа случаев появления этого события к общему числу испытаний. Иными словами, относительная частота события А это дробь .

Так, например, относительная частота выпадения «герба» в серии 4040 испытаний Ж.Бюффона равна . В первой серии 12000 испытаний К.Пирсона относительная частота выпадения «герба», согласно приведенному определению, составляла , а во втором эксперименте в серии 24000 испытаний – .

Очевидно, что в соответствии с приведенным определением относительная частота события А удовлетворяет условию

Если при многократном осуществлении серии испытаний относительная частота случайного события А «мало изменяется» при переходе от одной серии к другой, то событие А называется статистически устойчивым. Многим природным, социальным и экономическим явлениям присуща статистическая устойчивость.

Но возьмем испытание попроще – бросание игральной кости, представляющей собой куб, на гранях которого изображены цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. В результате такого испытания на верхней грани куба обязательно появится одна из указанных цифр. Такого рода события принято называть достоверными. Как бы ни подбрасывалась игральная кость – появление на верхней грани цифры 7 – событие невозможное.

Определение. Событие называется достоверным, если в рассматриваемом испытании оно обязательно произойдет. Событие называется невозможным, если в рассматриваемом испытании оно произойти не может.

При бросании игральной кости возможны следующие исходы испытания:

Е₁ – на верхней грани игральной кости выпадет 1;

Е₂ – на верхней грани игральной кости выпадет 2; …;

Е₆ – на верхней грани игральной кости выпадет 6.

Очевидно, что при одном испытании возможен только один из перечисленных исходов (появление 1 исключает появление 2 и т.д.). Более того, нет никаких оснований полагать, что появление одной цифры менее возможно, чем другой.

Такая ситуация в определенной степени является стандартной в теории вероятностей и описывается следующим определением.

Определение. Пусть имеется множество случайных событий Е₁, Е_2, …, Е_n обладающих свойствами:

1) всякий раз при испытании может произойти одно и только из этих событий;

2) события Е₁, Е_2, …, Е_n – равновозможны¹.

В этом случае события Е₁, Е_2, …, Е_n называются элементарными, а вся совокупность этих событий называется множеством элементарных событий.

При проведении испытания можно рассматривать не только элементарные события. Например, при бросании игральной кости можно говорить о событии A, заключающемся в выпадении цифры, кратной 3. Очевидно, можно говорить о том, что событие A произошло только в том случае, когда произошло событие Е₃ ¹– на верхней грани игральной кости выпала 3 или событие Е₆ ². В этом случае также говорят, что событие Е₃ (или Е₆) благоприятно событию A.

Определение. Суммой событий A и В называется событие A+В, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий A или В (случай, когда оба события происходят одновременно не исключается).

Пример. Событие A, состоящее в выпадении цифры, кратной 3, есть сумма событий Е₃+ Е₆.

Определение. Произведением событий A и В называется событие AВ, состоящее в том, что произошло оба события A и В одновременно.

Определение. Говорят, что события A и В несовместны, если AВ=.

Определение (классическое определение вероятности). Пусть n – число всех элементарных исходов испытания, образующих множество элементарных попарно несовместных событий, а m – число тех из них, что благоприятны событию А. Вероятностью события А называется число

Задача. В урне 5 красных, 8 желтых и 7 синих шаров. Испытание состоит в том, что наудачу из вынимается шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется синим.

Решение. Так всего шаров 20, то число всех элементарных исходов испытания n=20. Событию A – «вынут синий шар» благоприятствуют 7 из этих исходов (синих шаров в урне 7). Тогда:

Задача. Испытание состоит в том, что игральная кость подбрасывается дважды. Какова вероятность события A, заключающегося в том, сумма выпавших очков будет равна 9

Решение. Число равновозможных исходов этого испытания равно 36³:

(1,1)	(2,1)	(3,1)	(4,1)	(5,1)	(6,1)
(1,2)	(2,2)	(3,2)	(4,2)	(5,2)	(6,2)
(1,3)	(2,3)	(3,3)	(4,3)	(5,3)	(6,3)
(1,4)	(2,4)	(3,4)	(4,4)	(5,4)	(6,4)
(1,5)	(2,5)	(3,5)	(4,5)	(5,5)	(6,5)
(1,6)	(2,6)	(3,6)	(4,6)	(5,6)	(6,6).

Число исходов, благоприятствующих событию А равно 4 (эти исходы отмечены подчеркиванием. Тогда:

Определение (статистическое определение вероятности). Пусть производится испытание, в результате которого может наступить событие А. В предположении о том, что такое испытание проводилось N раз, а событие А появлялось M раз, число называют статистической вероятностью (или относительной частотой) события А рассматриваемой серии испытаний.

Например, относительная частота появления буквы «о» в тексте на русском языке равна 0,090, а буквы «ф» – 0,002 [].

Статистическая вероятность может быть вычислена только в том случае, если испытания действительно проходили. При классическом определении вероятности этого не требуется.

Определение (геометрическое определение вероятности). Пусть на плоскости задана область D и некоторая ее подобласть d (dD), площади которых равны S(D) и s(d) соответственно. Тогда вероятностью события А – «наудачу ставящаяся в область D точка попадает в подобласть d» – называют число .

Задача (о встрече). Два друга договорились о встрече в определенном месте с 11 до 12 часов. Условились, что пришедший первым ждет другого в течение получаса, после чего уходит. Какова вероятность того, что встреча состоится?

Решение. Обозначим через x – время (в часах) прихода к месту встречи первого друга, через y – время (в часах) прихода к месту встречи второго друга, причем время будем отсчитывать от 11 часов. Тогда 0x1, 0y1.

Друзья встретятся, если x–y0,5.

Таким образом, исходная задача может быть переформулирована следующим образом.

В квадрат D={(x,y): 0x1, 0y1} наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что она попадет в область d={(x,y): (x,y)D, x–y0,5}.

Очевидно, S(D)=1, а площадь заштрихованной фигуры d (см. рис. 1), может быть вычислена как разность площади квадрата и площадей двух равнобедренных прямоугольных треугольников s(d)=1–2( )= . Таким образом, вероятность того, что друзья встретятся, равна 0,75.

Необходимо подчеркнуть, что при определении классической и геометрической вероятностей используется неопределяемое понятие равновозможных событий. В свое время это приводило к возникновению различных парадоксов, связанных с тем, что в одной и той же ситуации естественными могут выглядеть различные подходы к определению равновероятных событий. В начале XX был предложен аксиоматический подход к определению вероятности, преодолевающий недостатки классического подхода. Но далее мы будем оставаться в рамках классического подхода.