3. Кванторы

Помимо перечисленных выше операций для предикатов определяется еще две: квантор общности и квантор существования.

Определение. Высказывание ( x) (P(x)) (читается: «Для всех x имеет место P(x)) является истинным в том и только том случае, когда предикат P(x) принимает истинные значения при подстановке в него любых значений переменных.

Определение. Высказывание ( x) (P(x)) (читается: «Существует x, для которого имеет место P(x)) является истинным в том и только том случае, когда предикат P(x) принимает истинное значения при подстановке в него некоторого значения переменной.

Если рассматривается предикат от нескольких переменных, то кванторы могут быть приписаны либо ко всем переменным, либо только к некоторым. Переменная, к которой приписан предикат, называется связанной. Если все переменные в предикате связаны, то предикат оказывается высказыванием. Если связанной оказывается только часть переменных, то оставшиеся переменные называются свободными.

Пример. Пусть x, yR.

1. Высказывание ( x) ( y) (x+y=7) – истинное высказывание, поскольку для любого числа x найдется число y=7–x такое, что x+y=7.

2. Высказывание ( y) ( x) (x+y=7) – ложное высказывание, поскольку не существует числа, которое в сумме с любым другим числом всегда дает 7.

3. Высказывание ( x) ( y) (x+y=7) – ложное высказывание, поскольку не существует числа, которое в сумме с любым другим числом всегда дает 7.

4. Высказывание ( x) ( y) (x+y=7) – ложное высказывание, поскольку сумма двух произвольных чисел не всегда равна 7. Например, 2+3=5.

Из приведенного примера, в частности, следует, что смысл высказывания существенно зависит от того, в каком порядке записаны кванторы и переменные, к которым они приписаны.

Определение. Предикаты P(x₁, x₂, .. x_n) и Q(x₁, x₂, .. x_n) над одними и теми же множествами называются равносильными

(P(x₁, x₂,.. x_n)  Q(x₁, x₂, ..x_n)),

если один из них обращается в истинное высказывание на тех и только тех наборах переменных из соответствующих множеств, на которых в истинное высказывание обращается другой предикат.

Пример. Обозначим через P(x) предикат «x – простое число», а через Q(x) предикат «x – четное число». Тогда множество, над которым оба предиката равносильны, состоит ровно из одного элемента – числа 2.

Теорема. Для любого предиката (P(x)) имеют место равносильности:

┐( x P(x))  ( x) (┐P(x)), ┐( x P(x))  ( x) (┐P(x)).

Пример. Рассмотрим высказывание «Все люди смертны». Обозначим через P(x) предикат: «Человек x смертен», тогда предыдущее высказывание можно записать так: x P(x). Согласно теореме отрицание этого высказывание имеет вид: ( x) (┐P(x)). И звучать это отрицание может так: «Существует человек, который не является смертным», или же еще проще – «Существует бессмертный человек.

4. Множество истинности предиката

Определение. Множеством истинности предиката P(x₁, x₂, .. x_n), определенного на множествах M₁, M₂, … M_n, называется множество:

P⁺={(a₁, a₂, …a_n): a_i M_i, i=1,2,…n и (P(a₁, a₂, …a_n))=1}.

Пример. Обозначим через P(x) предикат «x кратно 3», определенный на множестве M. Тогда:

а) если M={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, то P⁺={3, 6, 9};

б) если M={3, 6, 9, 12}, то P⁺={3, 6, 9, 12};

в) если M={2, 4, 8}, то P⁺=.

Пример. Обозначим через P(x) предикат , определенный на множестве действительных чисел (xR). Тогда множество истинности данного предиката будет множество P⁺=(–, 3][5, +), то есть множество решений неравенства .

Пример. Обозначим через P(x,y) двухместный предикат = . Множеством истинности этого предиката будут графики прямых y=x, y=– x. Или иными словами P⁺={(x,y): x, yR, y=x }.

Лекция № 5. Элементы теории вероятностей

1. Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности.

2. Операции над вероятностями.

3. Формулы Байеса.

4. Случайные величины и их характеристики.