2.4. Свойства операций над множествами

Рассмотрим основные свойства операций над множествами. В приведённых ниже операциях – любые произвольные множества.

- свойство коммутативности (или коммутативный закон)

;

- свойство ассоциативности (или ассоциативный закон)

;

- дистрибутивное свойство (или дистрибутивный закон) пересечения относительно объединения

;

- дистрибутивное свойство (или дистрибутивный закон) объединения относительно пересечения

;

- теоремы А. Де-Моргана

; .

Если пустое множество, то для любого произвольного множества X выполняется следующие равенства:

; .

Если универсальное множество, то имеют место равенства

;

2.5. Упорядоченные множества

Как уже упоминалось ранее, для множеств изменение порядка следования элементов, а также добавление и удаление одинаковых элементов не изменяет данного множества. Но существуют такие множества, для которых порядок имеет существенное значение. Такие множества называются упорядоченными. Если для обозначения неупорядоченных множеств, рассматриваемых нами ранее, применялись фигурные скобки «{...}», то для обозначения упорядоченных множеств используются круглые «(…)» или угловые скобки «<...>». Упорядоченные множества ещё называют кортежами. Примером упорядоченного множества могут служить координаты точки в п‑мерном пространстве . Как известно, перемена мест элементов такого множества, а также удаление или приписывание одинаковых элементов существенно меняет его смысл.

Количество элементов в упорядоченном множестве называют его длиной. Так, является упорядоченным множеством или кортежем длиной 3, – упорядоченным множеством длиной .

Кортеж длиной 2, то он называется упорядоченной двойкой или упорядоченной парой, длиной 3– упорядоченной тройкой. Таким образом могут быть рассмотрены упорядоченные четвёрки, пятёрки, и т.д., упорядоченные ки.

Кортежи и называются равными, если они имеют одинаковую длину и их элементы с одинаковыми номерами совпадают, т.е. , если и для .

Пример 2.6.

Кортежи и равны, т.к. оба кортежа имеют одинаковую длину, равную 4, и равны элементы с одинаковыми номерами , , , .

Из двух данных кортежей и длины и , где , , , , можно составить новый кортеж длины , элементы которого принадлежат множеству . Эта операция называется соединением кортежей.

2.6. Прямое (декартово) произведение множеств

Рассмотрим два произвольных множества и . Прямым или декартовым произведением двух множеств и называется такое множество, которое состоит из тех и только тех упорядоченных пар, первый элемент которых является элементом множества X, а второй – элементом множества Y. Высказывательная форма декартова произведения имеет следующий вид:

.

Является очевидным, что . Прямое произведение может быть распространено на большее количество декартовых сомножителей:

.

Как видно из высказывательной формы, элементами декартового произведения при количестве сомножителей, равном являются упорядоченные ки.

Пример 2.7

Рассмотрим множества и :

, .

Тогда декартово произведение составляет множество:

.

Пример 2.8

Рассмотрим множества , и :

, , .

Составим декартово произведение трёх множеств , и :

.

Если число элементов множества обозначить как , то можно записать: .