![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Е.Д. Стрельцова, в.С. Стрельцов моделирование дискретных систем Учебно-методическое пособие по дисциплине «Дискретная математика»
- •2. Теория множеств и отношений………………………………….20
- •Введение
- •1. Функции алгебры логики
- •1.1. Основные понятия
- •Пример функции алгебры логики , заданной таблицей
- •1.2. Алгоритм нахождения фиктивных аргументов.
- •1.3. Элементарные функции алгебры логики
- •Функции алгебры логики, зависящие от одного аргумента
- •Вопросы к разделу 1
- •2. Теория множеств и отношений
- •2.1. Множества. Способы задания множеств
- •2.2. Основные операции над множествами
- •2.2.1. Объединение множеств
- •2 .2.2. Пересечение множеств
- •2.2.3. Разность множеств
- •2.2.4. Дополнение множеств
- •2.4. Свойства операций над множествами
- •2.5. Упорядоченные множества
- •2.6. Прямое (декартово) произведение множеств
- •2.7. Степень множеств
- •2.8. Сечение и проекция
- •Декартово произведение
- •2.9. Соответствия
- •2.10. Композиция соответствий.
- •2.11. Отображения
- •2.12. Виды отображений. Функциональное отображение (функция)
- •2.13. Функционалы
- •2.14. Операторы
- •2.15. Линейные операторы
- •Отношение «Читает лекции по…»
- •Отношение «Посещать лекции»
- •2.20. Бинарные отношения
- •2.20.1. Матричный способ задания отношений
- •2.20.2. Задание отношений в виде графа
- •2.20.3. Задание отношений с помощью фактор множества
- •2.21. Свойства бинарных отношений
- •2.22. Отношение эквивалентности
- •2.23. Отношение порядка
- •2.24. Изоморфизм отношений
- •2.26. Операции над бинарными отношениями
- •2.26.1. Объединение отношений
- •2.26.2. Пересечение отношений
- •2.26.3. Разность отношений
- •2.26.4. Включение отношений
- •2.26.5. Переход к обратному отношению
- •2.26.6. Произведение отношений
- •2.26.7. Транзитивное замыкание
- •Вопросы к разделу № 2
- •3. Алгебраические системы
- •3.1. Понятие алгебраической системы
- •3.1. Морфизм алгебраических систем
- •3.3. Автоморфизмы
- •3.4. Виды универсальных алгебр
- •3.4.1. Полугруппы. Моноиды
- •3.4.2. Морфизм групп
- •3.4.3. Свойства морфизма групп
- •3.4.4. Кольцо
- •Вопросы к разделу №3
- •4. Практикум к решению задач Основные обозначения
- •4.1. Операции над множествами
- •Разностью множеств а и в называется множество
- •Симметрической разностью множеств а и в называется множество
- •Пустым множеством называется множество, не имеющее ни одного элемента.
- •Задачи и упражнения
- •На основании (14) можно записать
- •По определению объединения
- •Пусть теперь у (ав) (ас) у (ав) у (ас) (у а у в) (у а у с) у а (у в у с)
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4.2. Векторное произведение
- •4.3. Соответствие
- •Свойства отношений
- •Список литературы
- •Моделирование дискретных систем
- •3 46428, Г. Новочеркасск, ул. Просвещения, 132
2.10. Композиция соответствий.
Рассмотрим
два соответствия:
и
,
для которых справедливо равенство
.
Такие соответствия могут составить
композицию (или произведение), график
которой обозначается как
.
Композицию соответствий
называют
ещё произведением или суперпозицией
соответствий. Высказывательная форма
графика композиции соответствий имеет
вид:
.
При
композиции соответствий
каждому элементу
ставится в соответствие элемент
,
такой, что
,
,
(рис. 2.12).
Рис. 2.12. Геометрическая интерпретация композиции соответствий
При
композиции соответствий
каждому элементу
ставится в соответствие элемент
,
такой, что
,
,
.
Образ элемента
можно представить как
.
Таким образом, отображение через точку
отображает точку
в точку
:
.
Это можно отобразить в виде схемы,
представленной на рис. 2.13.
Рис. 2.13. Схема
суперпозиций соответствий
и
2.11. Отображения
Рассмотрим
некоторое соответствие
,
.
Допустим,
что это соответствие обладает следующим
свойством
,
т.е. область определения соответствия
совпадает с областью отправления. Это
соответствие всюду определено на всем
множестве
,
т.е. все элементы множества
участвуют в сопоставлении. Относительно
области прибытия, т.е. множества
,
ничего не говориться.
Такое
всюду определенное соответствие
называется отображением и формально
записывается следующим образом:
или
.
Таким образом, любое отображение является соответствием, но не наоборот. В связи с этим для отображений сохраняются понятия обратного отображения, композиции отображений, образа элемента, прообраза элемента.
2.12. Виды отображений. Функциональное отображение (функция)
Рассмотрим
отображение
,
(или
),
обладающее следующим свойством: каждому
элементу множества
ставит в соответствие по закону
только один элемент множества
,
но каждому элементу из
,
в общем случае, может ставиться в
соответствие и несколько элементов
множества
.
Такое отображение называется однозначным.
Не следует путать понятие однозначности
с понятие взаимной однозначности, о
котором речь пойдёт несколько позже.
Однозначное отображение называется функциональным отображением, или функцией.
Условие однозначности может быть записано следующим образом:
,
В виду того, что функция является отображением, в теоретико-множественном смысле она представляет собой множество упорядоченных пар. Поэтому высказывательная форма функционального отображения имеет следующий вид:
.
На рис. 2.12 и рис. 2.13 приведены примеры графиков функциональных отображений, а на рис. 2.14 и рис. 2.15 – нефункциональных отображений.
Рассматриваемое функциональное отображение представляет собой функцию одной переменной. Как известно, в математике распространены функции многих переменных. Возникает вопрос о теоретико-множественном представлении функции многих переменных.
Рис. 2.12. Функциональное отображение |
Рис. 2.13. Функциональное отображение |
Рис. 2.14. Нефункциональное отображение |
Рис. 2.15.. Нефункциональное отображение |
Представим
себе, что в отображении
множество
представляет собой декартово произведение
.
Тогда имеем функциональное отображение
(или
),
представляющее собой функцию
переменных. Очевидно, что такое отображение
представляет собой множество упорядоченных
множеств длиной
:
.
При
этом элемент
является образом элементов
:
.