Введение

В настоящее время математика становится методом мышления. Авторы пособия сочли необходимым пjказать, каким образом с помощью языка математики описывать информационную, организационную структуру абстрактных дискретных объектов. Дискретная математика или дискретный анализ – сравнительно новое направление в математике, изучающее объекты, имеющие прерывный (дискретный) характер в отличие от объектов, изучаемых классической математикой и носящих непрерывный характер. Дискретная математика – область математики, занимающаяся изучением дискретных структур, возникающих как в пределах самой математики, так и в её приложениях.

Элементы дискретного анализа возникли в глубокой древности и, развиваясь, параллельно с другими разделами математики, в значительной мере являлись их составной частью. Типичными для того периода были задачи, связанные со свойствами целых чисел, приведшие затем к созданию теории чисел. Позже, в основном в связи с игровыми задачами, появились элементы комбинаторного анализа и дискретной теории вероятностей, а в связи с общими проблемами теории чисел, алгебры и геометрии возникли важнейшие понятия алгебры такие, как группа, поле, кольцо и др., определившие развитие и содержание алгебры на много лет вперед и имевшие по существу дискретную природу. Стремления к строгости математического рассуждения и анализу рабочего инструмента математики – логики – привели к выделению еще одного важного раздела математики – математической логики. Однако наибольшего развития дискретный анализ достиг в связи с появлением кибернетики и ее теоретической части - математической кибернетики.

Математич. кибернетика, непосредственно изучающая с позиций математики самые разнообразные проблемы, которые ставит перед кибернетикой практика, является важным поставщиком идей и задач для дскретного анализа, вызывая в нём целые новые направления. Так, прикладные вопросы, требующие большой числовой обработки, стимулировали появление сильных численных методов решения задач, оформившихся затем в вычислительную математику, а анализ понятий вычислимости и алгоритма привел к появлению важного раздела математической логики - алгоритмов теории. Растущий поток информации и связанные с ним задачи хранения, обработки и передачи информации привели к возникновению теории множеств и отношений, реляционной алгебры, теории алгебраических систем, теории групп и т.д. Задачи электротехники, равно как и внутренние задачи математики, потребовали разработки теории графов. Задачи конструирования и описания работы сложных управляющих систем привели к теории функциональных систем и т. д.

Математическая экспансия - вторжение математики в новые, ранее ею не контролируемые территории - привела к использованию математических методов представителями как естественнонаучных, так и гуманитарных областей знания. Все это сделало понимание путей использования математического аппарата важнейшим элементом общей культуры, а владение терминами «математическая структура» и «математическая модель» - необходимыми атрибутами образованного человека

Дискретная математика относится к числу общепрофессиональных предметов, формирующих базовый уровень знаний, необходимых для изучения других дисциплин, таких как «Базы данных», «Моделирование», «Теория автоматов», «Основы теории управления», «Математическая логика» и др. Целью учебного пособия является формирование профессионально-прикладной компетенции специалистов, бакалавров, магистров, обучающихся по специальности «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети», а также по специальности 230100 «Информатика и вычислительная техника». Пособие формирует у студентов систему умений и навыков самостоятельного избирательного восприятия информации и её переработки. Задача прсрбия состоит в том, чтобы научить систематизации, обобщению, структурированию знаний, а также их адекватному применению как в предметных областях, так и в практической деятельности. Сочетание фундаментальных теоретических зниний с их функциональной направленностью призвано показать студентам использование универсального математического аппарата применительно к различным предметным областям и разнообразным видам деятельности. Акцент делается на знакомство с разными приёмами систематизации знаний и представления информации в сжатом виде. Особенностью пособия является избыточность информации в изложении теоретического материала. Опыт преподавания дискретной математики студентам Южно-Российского государственного технического университета (НПИ), кафедры ЭВМ демонстрирует, что интерес к этому материалу приобретается п процессе его изучения. Пособие состоит из четырёх разделов. В первом разделе даётся краткая характеристика функций алгебры логики. Наиболее подробное изучение свойств этих функций предполагается в рамках дисциплины «Теория автоматов». Второй раздел пособия посвящён теории множеств и отношений. Авторами приведены высказывательные формы операций над множествами, дано понятие соответствия, отображения, приведены виды отображений. В третьей главе изложен материал, касающийся описанию алгебраических систем, их видов. Четвёртый раздел посвящён практическому аспекту применения теоретических знаний при решении примеров и задач. Предложенный в пособии материал основан на тщательном анализе и отборе содержания с глубинным пониманием целей образования.

Дискретный анализ содержит материал, излагаемый во втором семестре курса «дискретная математика»: элементы алгебры логики, теории множеств и отношений, теории алгебраических структур.

Цель учебного пособия – познакомить студентов с основными определениями, задачами и методами дискретного анализа, подготовить их к пониманию смысла и к овладению техникой выполнения дискретных математических операций настолько же, насколько изучающие математический анализ подготовлены к применению непрерывных операций (типа дифференцирования и интегрирования).