- •Множества n,z,q,r
- •Числовые промежутки
- •Абсолютная величина (модуль) действительного числа и её основные св-ва
- •Геометрический смысл модуля числа и модуля разности 2 чисел
- •Числовая функция
- •Обратная функция и её график. Обратные тригонометрические функции
- •Основные элементарные функции. Композиция функций. Элементарные функции
- •Комплексные числа. Действительная и мнимая части числа. Геометрическое изображение
- •Формула Муавра
- •Извлечение корней n-ой степени из комплексных чисел
- •Многочлены в комплексной области. Условие
- •Основная теорема алгебры (т. Гауса)
- •Деление многочленов. Частное и остаток
- •Теорема Безу и её следствие
- •Кратность корня. Простые и кратные корни
- •Многочлены с действительными коэффициентами: комплексная сопряжённость корней, разложение на линейные и квадратичные множители.
- •Последовательность, её геометрическое изображение.
- •Последовательность ограниченная, возрастающая, неубывающая, убывающая, невозрастающая, монотонная.
- •Определение предела последовательности и его геометрический смысл. Сходящаяся последовательность.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •Расходящиеся последовательности.
- •Теорема Вейерштрасса (достаточное условие сходимости последовательности).
- •Число е. Натуральные логарифмы.
- •Арифметические действия над сходящимися последовательностями: теоремы о пределе суммы, произведения и частного.
- •Определение предела функции в точке (через ε-δ), его символистическая запись и геометрическая интерпретация.
- •Первый замечательный предел.
- •Односторонние пределы.
- •Предел функции при х→±∞.
- •Второй замечательный предел. Следствия.
- •Замечательный логарифмический предел
- •Замечательный показательный предел
- •Замечательный степенной предел
- •Функция, ограниченная на данном множестве.
- •Бесконечно-малые функции и их свойства: сумма бесконечно малых функций, произведение б.М. Функции на ограниченную.
- •Теорема о связи между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией.
- •Теорема о пределе суммы, произведения и частного.
- •Бесконечно большая функция.
- •Связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями.
- •Сравнение бесконечно малых функций. Символ «о» малое.
- •Непрерывность функции на промежутке.
- •Формулировка теорем о св-х непрерывных ф-ций: 1) не-сть суммы, произведения и частного, 2) непрерывность сложной ф-ии, 3) непрерывность обратной ф-ции..
- •Непрерывность элементарных функций.
- •Точки разрыва функции и их квалификация.
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке (формулировка, геометрические иллюстрации).
- •Определение производной.
- •Механический смысл производной.
- •Определение дифференцируемой (в точке) функции.
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции.
- •Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью.
- •Пример непрерывной, но не дифференцируемой в некоторой точке функции.
- •Односторонние производные.
- •Касательная и нормаль к кривой. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
- •Геометрический смысл производной
- •Бесконечная производная и вертикальная касательная.
- •Правила дифференцирования (теоремы).
- •Вычисление производных основных элементарных функций
- •Параметрические заданные функции и их дифференцирование.
- •Неявная функция и её дифференцирование.
- •Приближенное вычисление приращения функции.
- •Производные высших порядков.
- •Механический смысл 2 производной.
- •Определение вектор-функции действительной переменной. Годограф вектор-функции.
- •Производная вектор-функции.
Деление многочленов. Частное и остаток
Правило деления многочлена называется алгоритмом Евклида. Этот алгоритм состоит в следующем. Предположим степени многочлена P(x) равна n, степень многочлена Q(x) равна m, m≤n, и P(x) = a0xn + a1xn-1+ …+ an , Q(x) = b0xm + b1xm-1 + …+ bm.
Результат деления старших степеней этих многочленов есть a0/b0* xn-m и, очевидно, разность многочленов P(x)- a0/b0* xn-mQ(x) имеет степень меньшую, чем n, т.е. P(x) = c0xn-mQ(x)+P1(x), где с0= a0/b0 и многочлен P1(x) имеет степень, меньшую степени многочлена Р(х). Аналогично, если m≤n-1, то многочлен P1(x) можно представить в виде P1(x)=с1хn-m-1Q(x) + P2(x), где многочлен P2(x) имеет степень, меньшую степени многочлена P1, и т.д. Соединив эти действия, мы представим многочлен P(x) в виде P(x) = (c0xn-m+ c1xn-m-1 + … + cn-m)Q(x) + Q1(x), где степень многочлена Q1(x) меньше степени многочлена Q(x). Многочлен Q1(x) в этом случае называется остатком от деления многочлена P(x) на Q(x), а многочлен c0xn-m+ c1xn-m-1 + … + cn-m – целой частью дроби P(x)/Q(x). На практике эти действия записываются уголком и поэтому алгоритм Евклида называется так «деление уголком».
Теорема Безу и её следствие
Корнем многочлена P(x) называется число α, такое, что P(α) = 0.
Теорема: Число α является корнем многочлена P(x) тогда и только тогда, когда многочлен P(x) делится на (х- α) без остатка.
Док-во: Независимо от α, остаток от деления многочлена P(x) на (х- α) есть многочлен степени, меньшей чем степень многочлена (х- α), т.е. число, поэтому P(x)=(x- α)Q(x)+b, где b есть некоторое число, а Q(x) – многочлен, степень которого на 1 меньше степени многочлена P(x). Из этого равенства следует, что P(α) = b, откуда b=0, есть α является корнем многочлена, т.е. P(x) = (х- α)Q(x).
Обратно, если P(x) делится на (x- α) без остатка, то P(x) = (х- α)Q(x). Если положить в последнем равенстве х= α, то сразу получаем P(α)=0. Теорема доказана.
Следствие: Многочлен P(x) степени n с действительными или комплексными коэффициентами допускает разложение в произведение линейных множителей P(x)=a0(x- α1)(x- α2)…(x- αn), где { α1, α2, …, αn} – корни многочлена P(x).
Док-во: По т. Безу, если α1 – корень многочлена P(x), то P(x)=(x- α1)Q1(x). Аналогично, если α2 – корень многочлена Q1(x), то Q1(x)=( x- α2)Q2(x) и P(x)=( x- α1)( x- α2) Q2(x). Используя на основании т.Безу и далее такие же рассуждения для многочлена Q2(x) и всех последующих многочленов Q3(x), Q4(x), …, Qn(x), мы получим требуемое разложение на линейные множители.
Кратность корня. Простые и кратные корни
Кратностью корня α многочлена P(x) называется число вхождений линейного множителя (х- α) в разложении этого многочлена на линейные множители.
Корни кратности 1 обычно называются простыми корнями многочлена. Кратный корень многочлена f (x) = a0xn + a1xn-1 +... + an, число с такое, что f (x) делится без остатка на вторую или более высокую степень двучлена (х — с). При этом с называют корнем кратности, если f (x) делится на (х—с) k, но не делится на (х—c) k+1. Корень многочлена f (x) кратности k является также корнем производных этого многочлена до (k — 1)-го порядка включительно, т. е. многочленов f’(x), f''(x),..., f (k-1)(x). К. к. многочлена f (x) называется К. к. уравнения f (x) = 0.