- •Множества n,z,q,r
- •Числовые промежутки
- •Абсолютная величина (модуль) действительного числа и её основные св-ва
- •Геометрический смысл модуля числа и модуля разности 2 чисел
- •Числовая функция
- •Обратная функция и её график. Обратные тригонометрические функции
- •Основные элементарные функции. Композиция функций. Элементарные функции
- •Комплексные числа. Действительная и мнимая части числа. Геометрическое изображение
- •Формула Муавра
- •Извлечение корней n-ой степени из комплексных чисел
- •Многочлены в комплексной области. Условие
- •Основная теорема алгебры (т. Гауса)
- •Деление многочленов. Частное и остаток
- •Теорема Безу и её следствие
- •Кратность корня. Простые и кратные корни
- •Многочлены с действительными коэффициентами: комплексная сопряжённость корней, разложение на линейные и квадратичные множители.
- •Последовательность, её геометрическое изображение.
- •Последовательность ограниченная, возрастающая, неубывающая, убывающая, невозрастающая, монотонная.
- •Определение предела последовательности и его геометрический смысл. Сходящаяся последовательность.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
- •Расходящиеся последовательности.
- •Теорема Вейерштрасса (достаточное условие сходимости последовательности).
- •Число е. Натуральные логарифмы.
- •Арифметические действия над сходящимися последовательностями: теоремы о пределе суммы, произведения и частного.
- •Определение предела функции в точке (через ε-δ), его символистическая запись и геометрическая интерпретация.
- •Первый замечательный предел.
- •Односторонние пределы.
- •Предел функции при х→±∞.
- •Второй замечательный предел. Следствия.
- •Замечательный логарифмический предел
- •Замечательный показательный предел
- •Замечательный степенной предел
- •Функция, ограниченная на данном множестве.
- •Бесконечно-малые функции и их свойства: сумма бесконечно малых функций, произведение б.М. Функции на ограниченную.
- •Теорема о связи между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией.
- •Теорема о пределе суммы, произведения и частного.
- •Бесконечно большая функция.
- •Связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями.
- •Сравнение бесконечно малых функций. Символ «о» малое.
- •Непрерывность функции на промежутке.
- •Формулировка теорем о св-х непрерывных ф-ций: 1) не-сть суммы, произведения и частного, 2) непрерывность сложной ф-ии, 3) непрерывность обратной ф-ции..
- •Непрерывность элементарных функций.
- •Точки разрыва функции и их квалификация.
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке (формулировка, геометрические иллюстрации).
- •Определение производной.
- •Механический смысл производной.
- •Определение дифференцируемой (в точке) функции.
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции.
- •Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью.
- •Пример непрерывной, но не дифференцируемой в некоторой точке функции.
- •Односторонние производные.
- •Касательная и нормаль к кривой. Уравнение касательной и нормали к графику функции.
- •Геометрический смысл производной
- •Бесконечная производная и вертикальная касательная.
- •Правила дифференцирования (теоремы).
- •Вычисление производных основных элементарных функций
- •Параметрические заданные функции и их дифференцирование.
- •Неявная функция и её дифференцирование.
- •Приближенное вычисление приращения функции.
- •Производные высших порядков.
- •Механический смысл 2 производной.
- •Определение вектор-функции действительной переменной. Годограф вектор-функции.
- •Производная вектор-функции.
Основные элементарные функции. Композиция функций. Элементарные функции
Композиция функций (суперпозиция функций) в математике — это применение одной функции к результату другой.
Композиция функций F и G обычно обозначается . Пусть и две функции. Тогда их композицией называется функция , определённая равенством: .
Элементарными функциями будут называться всевозможные функции, полученные из основных элементарных функция (возможно, многократных) применением операций образования сложных функций, сложения, умножения и деления.
Среди эл-х ф-ий простейшими являются многочлены: P(x) = a0xn+aqxn-1+a2xn-2+…+an-1x+an – суммы целых неотрицательных степеней переменной х с некоторыми коэффициентами, и рациональные функции (дроби) : отношения P(x)/Q(x) двух многочленов.
Комплексные числа. Действительная и мнимая части числа. Геометрическое изображение
Комплексным числом называется выражение вида a+bi, где а,b действительные числа, а символ i удовлетворяет условию i2=-i. Множество комплексным чисел обычно называется полем комплексным чисел и обозначается С. Для комплексного числа z=a+bi действительное число а называется действительной частью комплексного числа z и обозначается Rez = a; действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается Imz=b.
Для понимания различных св-в часто оказывается полезным геометрическое изображение этих чисел точками или векторами на координатной плоскости R2 = {(x,y)}, если отождествить комплексное число z=a+bi с точкой с координатами (а,b) или же с радиус-вектором последней точки.
Арифметические операции над комплексными числами
Сложение (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Вычитание (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
Умножение (a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac − bd) + (bc + ad)i
Деление
Комплексно – сопряженные числа, геометрический смысл операции комплексного сопряжения.
В множестве комплексным чисел С существует ещё одна замечательная операция: комплексному числу z=x+yi можно сопоставить комплексное число , называемое комплексно-сопряжённым к z. Операция комплексного сопряжения имеет простой геометрический смысл, - отражение относительно действительной оси Ох.
Произведение комплексно сопряженных чисел и нахождение частного
Произведение комплексного числа z на его комплексно сопряжённое z равно квадрату модуля этого числа . Деление на комплексное число w=c+di≠0 так же возможно: z/w=zw-/ww-=1/|w|2 *zw--, и для нахождения частного осталось перемножить два комплексных числа z и w--.
Модуль и аргумент комплексного числа. Геометрический смысл модуля числа и модуля разности 2 чисел
Для z=x+yi неотрицательное число называется модулем числа z, расстояние от z до 0, и, соответственно, |z-w| есть расстояние между комплексными числами z и w, если эти числа рассматривать как точки плоскости.
Аргументом комплексного числа z = a + ib (z ≠ 0) называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором величина угла считается положительной, если угол отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.
Тригонометрическая форма комплексного числа
Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль и аргумент ( , ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме
, где r=|z|=√a2+b2, а tg =b/a
Формула Эйлера
В основе ещё одной формы записи комплексного числа лежит замечательная формула Эйлера, связывающая показательную и тригонометрические функции. Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство: ,где e — основание натурального логарифма, i — мнимая единица.
Показательная форма комплексного числа
Используя формулу Эйлера мы можем придать тригонометрической форме записи комплексного числа следующий вид:
Z=|z|eiф, где для z=a+bi, |z|=√a2+b2, а tg =b/a.
Модуль и аргумент произведения и частного
Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению из модулей, а аргумент равен сумме аргументов.
Z1=|Z1|(cosФ1+isinФ1)
Z2= |Z2|(cosФ2+isinФ2)
Z1Z2=|Z1||Z2|(cos(Ф1+ Ф2) + isin(Ф1+ Ф2))
Z1=|Z1|eiф1
Z2=|Z2|eiф2
Док-во: z1*z2=|z1|eiф1*|Z2|eiф2=|Z1||Z2|ei(ф1+ф2)=|Z1||Z2|(cos(ф1+ф2)+isin(ф1+ф2)).
Модуль частного двух чисел равен частному их модулей, а аргумент равен разности аргументов.
Z1/Z2=|z1|eiф1/|Z2|eiф2=|Z1|/|Z2|i(ф1-ф2).