§14 Методы вычисления определённого интеграла
14.1 Интегрирование по частям.
Пусть u и v – дифференциальные ф-ии, тогда:
Интегрируя обе части в пределах от а до b получим:
;
;
откуда: 
.
Пример:
14.2 Интегрирование методом подстановки
Теорема: Пусть дан интеграл:
,
где ф-ия f(x) непрерывна на отр. [a,b].
Введём новую переменную:
.
Если 1)
,
;
2)
и
непрерывны на отр.
;
3)
определена и непрерывна на отр.
,
то 
(1)
Док-во: Если F(x) первообразная для ф-ии f(x), то можем написать следующее равенства:
(2)
(3)
Из равенства 2 получаем
Из равенства 3 получаем
Правые части этих выражений равны, следовательно, равные и левые.
Пример.
14.3)Интегрирование
нечетных и четных функций на отрезке,
симметричном относительно нуля.
Пусть
-
непрерывная функция на отрезке
симметричном
относительно нуля.
А)
-нечетная
функция, т.е.
Докажем, что
4
Подставим в равенство 4
Итак, определенный интеграл с противоположными пределами от нечетной непрерывной функции равен нулю.
Пример.
,
т.к. функция
есть
нечетная функция .
б)
-нечетная
функция, т.е.
Докажем, что
5
Используем равенство 4 и
Итак, определенный интеграл с противоположными пределами от четной непрерывной функции равен удвоенному интегралу от этой функции, взятому по правой половине отрезка интегрирования.
&15.Несобственные интегралы.
15.1)Интегралы с бесконечными пределами.
Пусть функция определена и непрерывна при всех x, удовлетворяющих неравенству
.Рассмотрим
интеграл
,
b>a
у
0 a b х
П
ри
изменении в интеграл изменяется.Пусть
b 
Определение.Если существует конечный
предел
,то
этот предел называют несобственным
интегралом от функции
на
интервале
и обозначают
.
Следовательно
Если существует, то говорят несобственный интеграл сходится.
Если этот предел не существует или равен ∞, то говорят несобственный интеграл расходится.
В случае
выражает площадь неограниченной области,
заключенной между линиями
и осью OX.
Аналогично определяются несобственные
интегралы вида
Для последнего равенства, если сходятся оба интеграла, стоящих справа, то сходится и интеграл, стоящий слева.Если хотя бы один из них расходится, то расходится и интеграл, стоящий слева.
Примеры.
Несобственный интеграл сходится.
2)
Не существует (нет определенного значения).Следовательно несобственный интеграл расходится.
Во многих случаях достаточно установить сходится данный интеграл или расходится и оценить его значение. В этих случаях можно воспользоваться следующими теоремами, которые запишем без доказательства.
Теорема 1. Если для всех х (х≥а) выполняется неравенство 0≤f(X)≤Y(x)
и если
сходится, то
также сходится и при этом
Пример.
Вспомогательная функция
при всех
сходится
Следовательно и данный несобственный интеграл сходится.
Теорема 2. Если для всех
выполняется неравенство
,
причем
расходится, то расходится и
.
Пример.
,
при всех
расходится следовательно данный
несобственный интеграл расходится.
Теорема 3.Если
сходится , то сходится и интеграл
.
В этом случае последний интеграл называется абсолютно сходящимся.
Пример.
сходится.
Следовательно данный несобственный интеграл сходится.
15.2) Интеграл от разрывной функции
Пусть функция
определена и непрерывна при
,
а при
функция либо не определена, либо терпит
разрыв.
В этом случае нельзя говорить об интеграле
как о пределе интегральных сумм.В этом
случае его определяют так:
Если это предел существует, то говорят несобственный интеграл сходится, в остальных случаях расходится.
Если функция
определена и непрерывна при
,
то
Если функция
терпит разрыв при
,
где
,
то
В последнем равенстве, если оба интеграла, стоящие в правой части, сходятся, то сходится и интеграл, стоящий в левой части.
Если хотя бы один из интегралов, соящих в правой части равенства расходится, то расходится и интеграл, стоящий в левой части.
Пример.
При
функция
разрывна ,
,
т.е. интеграл сходится.
Для определения сходимости несобственных интегралов от разрывных фукций и оценки их значений часто применяют теоремы, аналогичные теоремам для интегралов с бесконечными пределами.
Теоремы сформулировать самостоятельно.
Примеры.
при
х=1 функция
разрывна
сходится
Следовательно, данный интеграл от разрывной функции сходится.
2)
функция
при
разрывна
при
расходится
Следовательно расходится.
&16. Вычисление площади фигуры
16.1) Площадь фигуры в декартовой системе координат.
Мы уже рассматривали как вычисляется,
площадь криволинейной трапеции, в случае
когда
на отрезке
(рис.1)
Если
на отрезке
,
то
(рис.2)
у
0 a b х
Рис.1
у
0 х
а b
рис.2
у
0 a b х
Рис.3
Если функция F(x)
конечное число раз меняет знак на отрезке
[a,b],
то отрезок [a,b]
разбивают на части, где F(x)
будет знакопостоянной (рис.3) и площади
суммируют. Если область ограничена 4),
то замкнутым контуром (рис.
Рис.4
Пример. 1) Найти
площадь фигуры, ограниченной кривой
,
прямой y=8
и осью OY.
2)Найти площадь
фигуры, ограниченной линиями
и y=3x
,
16.2)
Площадь
фигуры в полярной системе координат.
При вычислении площади в полярной системе координат простейшей фигурой является криволинейный сектор ОАВ с вершиной в полюсе.
Криволинейный
сектор ОАВ ограниченного кривой ρ=F(Ө)
и лучами Ө=α, Ө=β. Разобьем данную область
лучами
на
n
частей.
Площадь элементарного сектора заменим круговым сектором, площадь которого:
,
где
.
Эта сумма есть
интегральная сумма для функции
на
отрезке
,
поэтому
или
Пример. Вычислить
площадь области, ограниченной кардиоидой
,
17. Длина дуги кривой.
17.1)Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.
В прямоугольных координатах на плоскости дана кривая уравнением y=F(x)
Найдем длину дуги
AB.
В дугу АВ впишем ломанную
абсциссы т.
соответствуют
-
длина одного звена ломанной.
Длина ломанной
Длиной дуги АВ
называют тот предел, к которому стремится
длина вписанной ломанной, когда
По теореме Лагранжа имеем :
,
где
<
<
Следовательно
|
Замечание 1 Кривая задана параметрически
x=x(t)
y=y(t),
dx=x’(t)dt
или
Замечание 2 Задана пространственная кривая параметрически
x=x(t)
y=y(t)
z=z(t)
Примеры.
1) Найти длину дуги AB цепной линии
от т.(0;2)
до т.(2;
)
2) Вычислить длину L первого витка винтовой линии
x=acost
y=asint
z=bt 
Длина дуги кривой в полярных координатах.
Уравнение кривой
в полярной системе координат:
формулы связывающие
прямоугольные и полярные координаты
имеют вид:
Подставляя вместо
выражение из уравнения кривой получим
параметрические уравнения кривой
(проверить
самостоятельно)
Пример. Вычислить
длину кардиоиды
Т.к. кривая
симметрична относительно полярной оси,
то
Для S1
18.1) Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений.
Имеем некоторое тело Т. Предположим, что известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ. Эта площадь будет зависеть от положения секущей плоскости, т.е. являться функцией от х.
S=S(x).
Разобьем это тело на слои плоскостями x0=а,х1,,…,xn=b
В каждом частичном
отрезке
выберем т.
и вычислим
.Построим
цилиндрическое тело с основанием
и высотой
.
Объем этого цилиндра
Заменяя каждый слой таким цилиндром и просуммировав, получим
Х
Предел этой суммы называют объемом тела
T ( при max
)
Т.к.
-
представляет интегральную сумму, получим
Пример.Вычислить объем цилиндрического отрезка, т.е. тела, отсеченного от прямого кругового цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания.
Пусть радиус основания цилиндра равен a, высота цилиндрического отрезка H
Ось ОХ – диаметр PQ S(X)
– площадь прямоугольного треугольника
( на чертеже заштрихована) Этот треугольник
подобен
;
;
A
;
;
;
P
M
H
О
бъем
тела
Q х
18.2) Объём тела вращения
Рис1. криволинейная трапеция вращается вокруг оси ОХ.
S(x) представляет окружность с радиусом y=f(x).
Рис2. криволинейная трапеция вращается вокруг оси OY.
S(Y)
представляет окружность с радиусом
x=
.
Примеры. Решить самостоятельно
1)Вычислить объем тела, полученного при
вращении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной
и отрезком
2) Вычислить объем тела, полученного при
вращении вокруг оси ОУ фигуры, ограниченной
ось ОУ.
С помощью определенного интеграла можно вычислить площадь поверхности тела вращения .
Определенный интеграл имеет многие механические применения:
А)Вычисление работы
Б) Определение координат центра масс плоской линии и плоской фигуры.
Рассматривать отдельно эти вопросы не будем, при надобности воспользуетесь справочной литературой.