- •Определенный интеграл
- •10 Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
- •10.1) Задача о площади криволинейной трапеции.
- •10.2) Задача о работе переменной силы.
- •11. Определённый интеграл.
- •§13 Вычисление определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
- •§14 Методы вычисления определённого интеграла
- •14.1 Интегрирование по частям.
- •14.2 Интегрирование методом подстановки
11. Определённый интеграл.
Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция . Разобьем отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками где . Обозначим внутри отрезка выберем произвольно точку и вычислим значения функции Сумма произведений вида
Называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a,b]. Т. к. функция f(x) – непрерывна, то где соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [xk-1, xk]. Умножая все члены последнего неравенства на получим
Если на отрезке [a,b], геометрический смысл последнего неравенства мы разбирали.
Предел и существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a,b] на части, причём .
На основании свойства пределов существует .
Определение: если при любых разбиениях отрезка [a,b], и при любом выборе точек на отрезках [xk-1, xk] интегральная сумма стремится к одному и тому же пределу S, то этот предел называют определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] и обозначают .
Т
Число a называют нижним пределом,
b- верхним пределом. Отрезок [a,b] называют отрезком интегрирования, Х-переменной интегрирования.
Если на отрезке [a,b], то численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью ОХ
Замечание1: Определённый интеграл зависит только от вида ф-ии f(x) и пределов интегрирования, но не зависит от переменной интегрирования, которую можно обозначить любой буквой.
.
Замечание2: из определения определённого интеграла следует, что .
Замечание3: при a=b, .
Пар.12. Основные свойства определённого интеграла.
1) постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла , где А-const.
2) определённый интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме от интегралов слагаемых.
3) если на отрезке [a,b], где а<b, функции f(x) и удовлетворяют условию f(x) , то .
4) если m и M – наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a,b] и то
5) теорема о среднем.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке найдётся такая точка что справедливо следующее равенство
6) для любых трёх чисел a, b, c справедливо равенство, если только эти три интеграла существуют.
Доказать все эти свойства самостоятельно.
§13 Вычисление определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть в определённом интеграле нижний предел а закреплён, а верхний предел b меняется. Тогда будет меняться и значение интеграла, т.е. интеграл есть ф-ия верхнего предела.
Перейдём к привычным обозначениям: верхний предел обозначим через x, а переменную интегрирования через t.
, где a – const.
Если f(t)≥0, то Ф(х) – численно равна площади криволинейной трапеции аАХх (Рисунок 1).
Рисунок 1 – График функции f(x).
Теорема 1. Если ф-ия f(x) – непрерывная функция и , то имеет место равенство Ф‘(х) = f(x).
Или: производная от определённого интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной ф-ии, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела.
Док-во. По определению производной имеем:
;
По теореме о среднем:
, где
Найдём .
След-но ,
т.к. при . Теорема доказана.
Замечание. Из доказанной теоремы следует, что если ф-ия f(t) – непрерывна на отрезке [a, x], то сущ-ет ф-ия и она является первообразной для ф-ии f(x), то справедлива формула:
(1)
Эта формула наз. формулой Ньютона-Лейбница.
Док-во. Пусть F(x) – есть некоторая первообразная от ф-ии f(x). По теореме 1 есть такая же первообразная от ф-ии f(x), а две первообразные от данной ф-ии отличаются на постоянное слагаемое С*:
. (2)
Это равенство при соответствующем значении С* верно для всех х, т.е. являются тожд-ом.
При х = а имеем:
;
0 = F(a)+C*, откуда С* = - F(a).
При х = b равенство (2) будет:
.
Заменив переменную t на х получим ф-лу Ньютона-Лейбница:
.
Её можно, при решении, записать так:
.
Примеры: