Приведение произвольной системы сил к силе и паре сил

Докажем основную теорему статики (теорему Пуансо): любую произвольную систему сил, действующих на твердое тело, можно в общем случае привести к силе и паре сил.

Такой процесс замены системы сил одной силой и парой сил называют приведением системы сил к заданному центру.

Пусть дана произвольная система сил ( ), приложенных к твердому телу. Выберем произвольную точку О тела за центр приведения и каждую силу заданной системы сил приведем к точке О (см. рис.). Получим

( ) ~ { ; ( ), ( ), …, ( )} .

Таким образом, система из п сил заменена системой из 3п сил, т. е. в точке О приложена система сходя­щихся сил ( ) и на твердое тело действует также система п присо­единенных пар сил

{( ), ( ), …, ( )} .

Векторные моменты присоединен­ных пар сил, можно выразить через векторные мо­менты заданных сил:

; i= 1, 2, ..., п.

Систему сходящихся сил ( ) заменим их равнодействующей , которая равна векторной сумме сил и геометрически изображается замыкающим вектором силового многоугольника, построенного на этих силах.

Итак, ( ) ~ ( ), где

Для системы сходящихся сил ( ) сила является равнодействующей силой, а для заданной системы сил ( ) сила является лишь только ее векторной суммой, или главным вектором.

Главным вектором системы сил называют вектор, равный векторной сумме этих сил. Он изображается векто­ром, замыкающим силовой многоугольник, построенный на силах, т. е.

Систему присоединенных пар сил ( , ),( , ), … ,( , ) по тeopeме о сложении пар сил можно заменить одной парой сил ( , ) с векторным моментом ,

который называют главным моментом. Главный момент равен сумме векторных моментов присоединенных пар. Учиты­вая формулу для имеем

Индекс О означает, что за центр приведения взята точка О. Итак, главным моментом системы сил относительно точки О тела называют сумму векторных моментов всех сил системы относительно этой точки.

Главный момент системы сил является вектором, замыка­ющим векторный многоугольник, образованный при сложении векторных моментов сил системы относительно выбранного центра.

Таким образом, доказана основная теорема статики: лю­бую систему сил, действующих на твердое тело, можно привести к силе, равной главному вектору системы сил, и паре сил, векторный момент которой равен главному мо­менту системы сил относительно точки, выбранной за центр приведения.

В краткой форме эту теорему можно выразить так:

~ ( ) ,

т. е. каждую систему сил можно. привести к главному вектору и главному моменту относительно произвольного центра. Следу­ет учитывать, что это условная форму­лировка основной теоремы. Главный мо­мент характеризует действие на тело пары сил (Ф, Ф'), лежащей в плоскости, перпендикулярной главному моменту.

Формулы для вычисления главного вектора и главного момента

Для любой системы сил главный вектор является векторной суммой этих сил:

а главный момент - суммой векторных моментов относительно центра приведения:

2. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ СИЛ

Условия равновесия системы сил в векторной форме

Для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу. необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил был равен нулю и главный момент системы сил относительно любого центра приведения также был равен нулю

= 0, = 0

Условия равновесия пространственной системы сил в аналитической форме

Для равновесия пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси декартовых координат были равны нулю и три суммы моментов всех сил относительно трех осей координат также были равны нулю.

Условия равновесия пространственной системы параллельных сил

Направим ось Оz параллельно силам . Тогда проекции параллельных сил на перпендикулярные им Оx и Оy будут равны нулю и условия

Для равновесия пространственной системы параллельных сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма этих сил была равна нулю и суммы моментов сил относительно двух координатных осей, nерnендикулярных силам, также были равны нулю