8. Определение передаточной функции разомкнутой и замкнутой скорректированной системы, построение лфчх скорректированной системы

Передаточная функция разомкнутой скорректированной систе­мы может быть записана следующим образом:

W (р) = W(p)W(р) = ^ ,>1^p + ^l)(t2^Р +¹⁾

Кар) ^wh\p)кур) р(Тдвp+1)(Тур+1) (тр+1)(тьр+1).

^{WcK ( р)}= р(ТуР+ГхТ¹ Р+1)(ТьР+1)⁼ = 136(1 p+1)

p(0,015р +1)(15,8p+1)(0,0072 p+1)'

Положим:

У = ^кн ⁽t Р+¹⁾ У2 = р(Т_ур + 1\T_ap+1)(ТьР+1).

Тогда

Кск (Р ) =

У2

Передаточная функция замкнутой системы:

л

^WCK⁽Р⁾ = У2 = У1

W (р ) = -

скз \-1 f

1 + Кск ⁽Р⁾ ₁ + л У1 + У2'

^У2

Тогда,

w (p)= кн ⁽t p+¹⁾ =^^

^скДР кн(t1 p+1)+ р(Тр + 1)(Т_ар+1)(ТьР+1) D(p). Произведем перемножение в знаменателе и найдем характе­ристический полином D(jrn).

DР) = ТТТР + [Т • (Т + Т_ь)+ ТТ_Ь]p³ + (Т + Т_а + T_b)p² + (kHt1 +1)p+кн.

Подставляем Т_у = 0,015с; Т_а = 15,8с; T_b = 0,0072с; тj = 1 с; кн = 136.

D( p) = 0,015 15,8 • 0,0072 p⁴ + [0,015 • (15,8 + 0,0072)+15,8 • 0,0072]p³ + + (0,015 +15,8 + 0,0072) p² +(136 • 1 +1) p +136.

D(p) = 0,000171p⁴ + 0,351 • p³ +15,8p² +137 p+136 .

Подставим p = jrn.

D( jw) = 0,000171( jw)⁴ + 0,351 • (jw)³ +15,8( jw)² +137( jw)+136 D(jw) = (0,000171w⁴ - 15,8w² +136) + jw(137 - 0,351w²) = B{w) + jM(w) B(w) = 0,000171w⁴ -15,8w² +136 M (w) = w(137 - 0,351w²)

9. Построение лфчх скорректированной

СИСТЕМЫ

Логарифмическая фазо-частотная характеристика (ЛФЧХ) скорректированной САУ строится вместе с ЛАЧХ на основе переда­точной функции разомкнутой скорректированной системы:

<Рск (w) = -90°+ arctg(t₁w) - arctg(T_dsw) + arctg(Taw) + arctg(T_bw).

ЛФЧХ строится в градусах.

10. Определение переходной функции скорректрованной системы

Синтез САУ, проведенный приближенными методами на осно­ве логарифмических амплитудно-фазовых характеристик, завершают выяснением свойств скорректированной системы, установлением со­ответствия между фактическим перерегулированием и временем ре­гулирования и их заданными величинами. С этой целью методом тра­пеций на основе вещественной части частотной характеристики замкнутой системы от частоты определяют переходную функцию замкнутой системы, т.е. ее реакцию на единичное воздействие со сто­роны задатчика.

Для определения числовых значений показателей переходного процесса необходимо иметь его кривую, которую можно получить экспериментально в результате моделирования и расчета. В последнем случае используют методы, основанные на решении диф­ференциальных уравнений и частотный метод.

Методы решения дифференциальных уравнений (классический и операционный) достаточно трудоемки, поэтому в инженерной практике широко используют частотный метод. Кривую переходного процесса при этом строят по известным частотным характеристикам системы.

Частотный метод построения переходного процесса основыва­ется на количественной связи между временными и частотными характеристиками, которую можно выразить формулой

где Р(ю) - вещественная частотная характеристика замкнутой систе­мы.

Поскольку функция P(o) является сложной дробно- рациональной, то интеграл трудно вычислить. Поэтому функцию Р(ю) получают в виде графика с использованием P-номограммы (см. рис. 15) на основании ЛАЧХ и ЛФЧХ. Эти номограммы построены на плоскости, по оси абсцисс которой отложены значения ф, а по оси ординат L_m = 20 lg A.

Номограммы представляют собой семейство линий равных значений Р(ш). Для определения величины Р(ю) откладываются из­вестные значения и ф (ю^находится точка на плоскости с этими координатами. Индекс кривой Р = wnst, проходящей через эту точку, равен искомому значению Р(ш). Если полученная точка не находится на кривых, то выполняют интерполяцию. При L(a)>28 дБ Р(ю) ~ 1, а при L(rn)< -28 дБ Р(ю) ~ 0.

По известному графику Р(ю) можно получить переходную функцию h(t) (рис. 16, а) по предложенному В. В. Солодовниковым приближенному графо-аналитическому методу построения кривой переходного процесса. Суть метода состоит в том, что график Р(ю) разбивает на типовые трапеции. Затем для каждой трапеции на основании заранее составленных таблиц h-функции, строят график переходной функции. Искомую переходную функцию находят алгебраическим суммированием ординат отдельных составляющих.

-320 -300 -260 -260 -2U0 -220 -200 -160 -160 -W -120 -100 -60 -60 -40 Lm, 95

-320 -300 -280 -260 -2W-220 -200-180 -160 -HO -120-100 -80 -60 -40

<P, град

Рис. 15. Номограмма для определения вещественной частотной характеристики замкнутой системы

Таблица h-функции (Прил. 3) составлена для единичной трапеции, которая характеризуется коэффициентом наклона % = w_a / w (рис. 16, б). Такая таблица позволяет для заданного значения х построить график переходной характеристики h(t) в функции относительного времени t = w_nt, где t — текущее время

переходного процесса.

Переходную функцию h(t) удобно строить в такой последовательности:

Рис. 16. Переходная характеристика, построенная по вещественной частотной характеристике системы

а)р

1 а.

0,8 0,6

0,2 О 0,2 0,4

1. найти передаточную функцию разомкнутой системы W(p) по структурной схеме или соответствующему дифференциальному уравнению;

2. по передаточной функции W(p) построить логарифмические амплитудную L(w) и фазовую ф(т) частотные характеристики;

3. по значениям L(w) и ф(ю) с использованием P- номограммы (см. рис. 15) определить значения и построить график вещественной характеристики P(w) замкнутой системы (см. рис. 16, а);

4. характеристику Р(ю) разбить на трапеции. Для этого дейст­вительную характеристику Р(ю) заменить приближенно прямолинейными отрезками и концы каждого отрезка соединить с осью ординат прямыми, параллельными оси абсцисс. Более тщательно необходимо аппроксимировать характеристику при низких частотах. Ее конечную часть с ординатами менее 0,1Р(0) можно не принимать во внимание. Характеристика P(w) аппроксимирована прямолинейными отрезками аб, бв, гд, дж, ик, кл и лм (см. рис. 16, а). Концы каждого из этих отрезков соединены с осью ординат прямыми, параллельными оси абсцисс. При этом имеется шесть геометрических фигур: абв, вгде, еджз, зжий, йклм, млнО;

5. определить параметры трапеций. Для каждой i-й трапеции по графику найти частоты ю_а1 и oo_ni высоту Р. По значениям ю_а1 и ю_п1 определить коэффициенты наклона % = ю_а / со_п. Величину P_t считать положительной, если меньшая параллельная сторона трапеции распо­ложена выше большей, и отрицательной в противоположном случае. Сумма высот всех трапеций равна Р(0). Параметры «_ш, ю_п, х, Pi каж­дой трапеции занести в таблицу. Для трапеций абв и вгде параметры приведены ниже.

_авJ t. 0.125 0.25 0.375 0.5

^{а в} [h(t) - 0.006 - 0.012 - 0.018 - 0.023

. ft. 0.06 0.13 0.19 0.25 0,31 0,37 0,44

вгде <

|h(t) 0,11 0,21 0,3 0,37 0,42 0,45 0,45

„ J t. 0.625 0.75 0.875 1,0 1,125

абв <

|h(t) - 0.027 - 0.03 - 0.031 - 0.034 - 0,035

, J t. 0.5 0.63 0.75 0.88 0,94 1,0 1,13

вгде <

|h(t) 0,45 0,42 0,38 0,36 0,36 0,37 0,39

6. определить составляющие переходной характеристики. В таблице h-функций (см. прил. 3) для каждой i-й трапеции найти столбец, соответствующий значению х. Затем для ряда значений ус­ловного времени т определить соответствующие им значения Ь(т). По значениям т и Ъ(т) вычислить значения текущего времени переходного процесса t и составляющей h переходной характеристики:

t = т/ю_п1; hi = Pi h(c)

7. построить графики составляющих h_i(t) переходной характе­ристики (рис. 16, в). Все составляющие располагаются на одном графике, знак каждой из них определяется знаком высоты соответствующей трапеции;

   1. Юа! = 0; ю_п1 = 4;xi = 0; Р, = -0,004.

   2. Юа2 = 6; Юп2 = 8;хг = 0,75; Р₂ = 0,30.

8. построить график переходной характеристики h(t). Ордина­ты h(t) (см. рис. 16, в) определить суммированием ординат всех составляющих в фиксированные моменты времени.

11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА СКОРРЕКТИРОВАННОЙ

СИСТЕМЫ

По графику h(t) скорректированной системы (пример представлен на рис. 17) необходимо определить основные показатели качества переходного процесса скорректированной системы - время регулирования t_p, относительное перерегулирование а, частоту колебаний ю (период колебаний Т), число колебаний N за время регулирования.

Рис. 17. Переходная функция скорректированной системы Время регулирования t_p определяется длительностью переходного процесса. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго, однако практически считают, что он заканчивается, как только отклонения регулируемой величины от нового ее установившегося значения не будут превышать допустимых пределов е. Обычно принимают e= (3 + 5)%h_ycm.

Временем регулирования характеризуют быстродействие системы. Однако иногда быстродействие характеризуют также временем t_y достижения переходной функцией первый раз нового установившегося значения или временем tmax достижения максимального значения hmax .

Перерегулирование A.h_max= h_max - h_ycm, или выброс, представляет собой максимальное отклонение регулируемой величины от нового установившегося значения. Обычно первый максимум является наибольшим.

Относительное перерегулирование:

s= ^hmax ~ ^hycm 100%.

^hycm

Время регулирования и перерегулирование (основные показа­тели переходного процесса) тесно связаны между собой. Перерегули­рование появляется вследствие того, что система к новому установившемуся состоянию подходит с определенной скоростью, которая графически отображается тангенсом угла наклона касательной в точке А (см. рис. 17):

dh

= tga.

dt

-'у

Чем больше эта скорость, тем дальше за новое установившееся положение «пройдет» систем, а по инерции. Для уменьшения перере­гулирования необходимо снизить скорость, с которой система подходит к новому установившемуся состоянию. Это приводит к уве­личению времени регулирования. Если система подходит к устано­вившемуся состоянию с нулевой скоростью, то перерегулирования не происходит, но время регулирования значительно возрастает. Таким образом, отсутствие и слишком большое перерегулирование нежелательны. Поэтому перерегулирование допускают в пределах 20 - 30% установившегося значения. При этом число полуколебаний переходной функции равно двум-трем.