5. Определение минимально допустимого коэффициента передачи системы

ТЕОРЕМА. О конечном значении ошибки в установившемся режиме.

Если на входе присутствует некоторое воздействие Х(р), то ошибка в установившемся режиме определяется как предел следую­щего выражения:

£(-) = lim p• X(p)• W₃(p)x(p)

Ш

X(p)

wjp)S (P)

Рис. 4. Звено, характеризующее ошибку в установившемся ре­жиме

Найдем первичную функцию по ошибке:

W (p) • Х( p) = W₃ (p). Da( p) = ¹ _{( )} = -

1

+

p{T_de p+1)(тур +1)

¹ + ^WH ⁽ p⁾ ₁

= p(T_de p+1)(тур+1) _;

p{T_dep+1)(тур+1)+ кн '

£ = Да.

Рассмотрим установившиеся ошибки на выходе системы при двух видах воздействия. Единичная функция a_ex=1(t);

a⁽p⁾ = -; ^Da(¥) =^lim p • - • W⁽p⁾ •^Da(p⁾; р=0;

p p®⁰ p

W (p ).Da( p ) = 0.

Полученный результат показывает, что рассматриваемая систе­ма в установившемся режиме при постоянном воздействии на входе

имеет значение установившейся (статической) ошибки, равное нулю. Этого результата следовало ожидать, т.к. проектируемая система осуществляет астатическое регулирование, о чем говорит нулевой корень в знаменателе, т.е. в состав системы входит интегрирующее звено, что определяет астатический характер регулирования. В аста­тических системах 1-го порядка статическая ошибка равна нулю.

Воздействие на входе изменяется с постоянной скоростью

a_ex=V-t,

где V - заданная скорость вращения входного вала (л_вх).

По заданию п_вх = V = 50 об/мин. Необходимо её перевести в град/с, т.е. определить угол, на который повернется входной вал за 1 с.

п_в- 50^=-300 град.

мин 60 с

O (p) = ^V ;^Aa( p) = Ox (p)• ^W (p)• Aa( p) p

^Aa(r⁾=^xv =^lim? p • ^V • W⁽p^ ^Aa(p⁾; X=^V.

p®⁰ p k

Из теории известна связь между скоростной ошибкой со ско­ростью изменения входной величины V, в данном случае скоростью вращения входного вала п^ об/мин, и коэффициентом усиления ра­зомкнутой системы.

_x - V - Дх.

^Xv k k

где — скоростная ошибка (задано = 2 град).

V — скорость изменения входной величины. В данном случае речь идет о скорости вращения первичного (входного) вала п^. По­этому V = п^. В задании: п_вх = 50 об/мин = 50-360/60 = 300 град/с.

Таким образом, минимальное значение коэффициента усиления разомкнутой системы, при котором выполняется требуемый показа­тель качества — 2 град, при скорости вращения входного вала 50 об/мин = 300 град/с:

k_min =^V — _30° — 150 1/_с. по расчету к_н = 136.

^XV ²

Т.к. k„_lin < к_н, то подключение дополнительного усилителя не требуется. Если бы расчетный к_н получился меньше, чем минимально допустимый, то надо было бы увеличить к_у и k_c или просто ввести в функциональную схему еще одно пропорциональное звено.

6. Предварительное определение устойчивости проектируемой системы

Предварительный расчет устойчивости системы проведем с по­мощью алгебраического критерия устойчивости Н.А. Вышнеградско- го.

Характеристический полином замкнутой системы регулирова­ния имеет вид:

D p )= т_дт_у p³+(Тв + т )p² + p + k_H.

По критерию устойчивости Н.А. Вышнеградского, если харак­теристический полином имеет вид: D(p)= a₀ p³ + a₁ p² + a₂ p + a₃; то система 3-го порядка устойчива, если:

1. а₀ > 0, а₁ > 0, а₂ > 0, а₃ > 0,

2. а а 2 > ааз.

В рассматриваемом случае,

^a0 = ^Тдв^Ту^{; a}1= ^Тде +^Ту^{; a}2 = ^{1; a}3 = ^кн.

Тогда Тдв +Ту)1> ТдвТу кн.

(0,115+0,015)1 > 0,115-0,015-136;

0,13 > 0,2346.

Следовательно, проектируемая система не устойчива.