2. О: Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число a_n, то говорят, что задана числовая последовательность {a_n}: a_1,a_2,…,а_n,.... Другими словами, числовая последовательность — это функция натурального аргумента: a_n=f(n). Числа a_1,a_2,…,а_n,.... называются членами последовательности, а число a_n — общим или n-м членом данной последовательности. Если посл-тьопределена на конечном подмножестве натуральных чисел, то её называют конечной. Монотонныеч.п.: {a_n}, если для любого n, a_n+1>a_n – возрастающая; {a_n}, если для любого n, a_n+1≥a_n – неубывающая; {a_n}, если для любого n, a_n+1<a_n – убывающая; {a_n}, если для любого n, a_n+1≤a_n - невозрастающая. Способы задания ч.п.: текст; формула; неск. первых чисел; рекуррентная формула. О: Число А называется пределом числовой последовательности {a_n}, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ɛ>0, найдется такой номер N (зависящий от ɛ, N=N(ɛ)), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство . Предел числовой последовательности обозначается или a_n→∞ при n→∞. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае — расходящейся. .Смысл определения предела числовой последовательности состоит в том, что для достаточно больших nчлены последовательности {a_n} как угодно мало отличаются от числаА(по абсолютной величине меньше, чем на число е, каким бы малым оно ни было).

3. Предел функции при бесконечном изменении аргумента. О: Число А называется пределом функции у=f(x) при х, стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ɛ>0, найдется такое положительное число S>0 (зависящее от ɛ; S=S(ɛ)), что для всех x таких, что |х|>S, верно неравенство: |f(x)-A|<ɛ. Этот предел функции обозначается или f(x)→А при x→∞. С помощью логических символов определение имеет вид: .Смысл определения: при достаточно больших по модулю значениях х значения функции f(x) как угодно мало отличаются от числаА(по абсолютной величине).Геом. Смысл: Число А есть предел функции у= f(x) при х→∞, если для любого ɛ>0 найдется такое число S>0, что для всех х таких, что |x|>S, соответствующие ординаты графика функции f(x) будут заключены в полосе A-ɛ<y<A+ɛ какой бы узкой эта полоса ни была.Предел функции в точке. О: Число А называется пределом функция f(x) при х, стремящемся к х₀(или в точке x₀), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ɛ>0, найдется такое положительное число δ>0 (зависящее от ɛ, δ=δ(ɛ)), что для всех х, не равных х₀и удовлетворяющих условию |x-x₀|<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ɛ. Этот предел функции обозначается или f(x)→А при x→x₀.С помощью логических символов определение имеет вид: .Смысл определения предела функции f(x) в точке х₀ состоит втом, что для всех значении х, достаточно близких к х₀, значенияфункции f(х) как угодно мало отличаются от числаА(по абсолютной величине).Основные теоремы о пределах: 1.Функция не может иметь более одного предела.2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е. . 3.Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е. .В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е. . 4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.е. .5.Если , , то предел сложной функции . 6. Если в некоторой окрестности точки х₀(или при достаточнобольших х) f(х)<φ(х), то .

4. Прием вычисления пределов ф-ии. Работают те же методы, которые используются при расчете пределов ч.п. y=f(x) является бесконечно малой ф-ей при x→x₀, если , , . .

О: Первым замечательным пределом называется . Для доказательства формулы рассмотрим круг радиуса Rс центром в точке О. Пусть ОВ — подвижный радиус, образующий угол х(0<х< ) с осью Ох. Из геометрических соображений следует, что площадь треугольника АОВ меньше площади сектора АОВ, которая в свою очередь меньше площади прямоугольного треугольника АОС, т.е. . Так как , то имеем , откуда, разделив части двойного неравенства на , получим или . Так как функции и четные, то полученные неравенства справедливы и при <х<0. Переходя к проделу при х→0, получим , . На основании признака существования предела промежуточной функции ч.т.д.

О: Числом e (вторым замечательнымпределом) называется предел числовой последовательности . Выше мы фактически установили, что 2<e<3. Более точно e≈2,718281..., т.е. число е — иррациональное число.Можно показать, что функция у= при и при (где х в отличие ох натурального числа n“пробегает" вес значения числовой оси — не только целые) имеет предел, равный числу е. . Полагая , найдем , при .В результате получается еще одна запись числа e: .

5. О: Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) определена в точке х₀ (т.е. существует f(х₀)), 2) имеет конечный предел функции при х→х₀; 3) этом предел равен значению функции в точке х₀, т.е. → т.е. для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции. О: Функция у=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: . Свойства функций, непрерывных в точке:1. Если функции f(x) и φ(х) непрерывны в точке х₀, то их сумма f(x)+φ(х), произведение f(x)φ(х) и частное f(x)/φ(х) (при условии φ(х₀≠0) являются функциями, непрерывными в точке x₀. 2. Если функция у=f(x) непрерывна а точке х₀и f(х₀)>0, то существует такая окрестность точки х₀, в которой f(х)>0. 3. Если функция y=f(u) непрерывна с точке u₀, а функции u=φ(х) непрерывна в точке u₀= φ (х₀), то сложная функция y=f[φ(x)]непрерывна в точке х₀.Свойство 3 может быть записано в виде , т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу. Функция у=f(x) называется непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Можно доказать, что все элементарные функции непрерывны в области их определения. Свойства функций, непрерывных на отрезке:1. Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то она ограничена на жом отрезке. 2. Если функция у=f(х) непрерывна на отрезке [а, b], то она достигает ни этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения M(теорема Вейерштрасса).3. Если функция у=f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и значения ее на концах отрезка f( а) и f(b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка £ϵ(а, b) такая, что f(£)=0 (теорема Больцано-Коши).

Основные теоремы о неприрывных ф-ях в точке и на промежутке. Пусть в точке x=x₀ две ф-ииy=f(x) и y=g(x) непрерывны, т.е. , тогда: 1,2) f(x)±(*)g(x)=φ(x); ±* . 3) Если g(x₀)=b≠0, то f(x)/g(x)=φ(x); .

6. О: Производной функции у=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует): . Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Геометрический смысл производной, производная f'(x₀)есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой у=f(х) в точке x₀т.е. k=f'(x₀).

Тогда уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке х₀ примет вид: y-f(x₀)=f'(x₀)(x-x₀). Правила дифференцирования: . Производные основных элементарных функций: = .

7.

Итак,

8.

Итак,

9. О: Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной . Геометрический смысл дифференциала. Возьмем на графике функции y=f(x) произвольную точку М(х, у). Дадим аргументу х приращение . Тогда функция у=f(x) получит приращение . Проведем касательную к кривой у=f(x) в точке М, которая образует угол α с положительным направлением осиОх, т.е. f'(х)=tg α. Из прямоугольного треугольника MKN: KN-MNtgα= tgα=f’(x) , т.е. в соответствии с dy=KN.Таким образом, дифференциал функции есть приращение орди­наты касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в данной точке, когда х получает приращение .

Не следует думать, что всегда dy< . Так, на рис. 2 показан случай, когда dv> .

Свойства дифференциала:

10. О: Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к пулю (если этот предел существует). Обозначается частная производная так: или , или . О: Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е. (1). Учитывая, что для функций , согласно (1) формулу дифференциала (1) можно записать в виде или . О: Функцияz=f(x, y) называется дифференцируемой в точке (х, у), если ее полное приращение может быть представлено в виде , где — дифференциал функции, , — бесконечно малые при →0, →0.

Таким образом, дифференциал функции несколькихпеременных, как и в случае одной переменной, представляет главную, линейную относительно приращений и часть полного приращения функции

Техника дифференцирования ф-ии нескольких переменных. Она основана на технике дифференцирования одной переменной, т.е. на правилах дифференцирования одной переменной и табличной формулой производных ф-ии одной переменной. Вычисляя частную производную ф-ии по одной переменной следует помнить, что все остальные переменные ведут себя как константы (неизменные величины). . Частная производная более высокого порядка получается путем дифференцирования порядка меньшего на 1.

11. О: Точка M(х₀,у₀) называется точкой максимума (минимума) функции z=f(x, у), если существует окрестность точки такая, что для всех точек (х, у) из этой окрестности выполняется неравенство . Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть точка (х₀,у₀) – есть точка экстремума дифференцируемой функции z= f(x, у). Тогда частные производные f_x’(х₀,у₀)и f_y’(х₀,у₀) в этой точке равны нулю.

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть функция z=f(x, у): а) определена в некоторой окрестности критической точки (х₀,у₀), в которой f_x’(х₀,у₀)=0 и f_y’(х₀,у₀)=0 и б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка f_xx’’(х₀,у₀)=A; f_xy’’(х₀,у₀)= f_xx’’(х₀,у₀)=Af_yx’’(х₀,у₀)=B; f_yy’’(х₀,у₀)=C. Тогда, если =АС-В²>0, то в точке (х₀,у₀) функция z= f(x, у) имеет экстремум, причем если A<0 — максимум, если A>0 — минимум. В случае =АС- В²<0, функция z= f(x, у) экстремума не имеет. Если =АС- В²=0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Исследование функции двух переменных на экстремум рекомендуется проводить, по следующей схеме:

1°. Найти частные производные функции z'xи z'y.

2°. Решить систему уравнений z'_x=0, z'_y=0 и найти критические точки функции.

3°. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточ­ного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4°. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

12. О: Функция F(х) называется первообразной функцией для функции f(х) на промежутке X, если в каждой точке х этого промежутка F’(х)=f(х). Теорема. Если F₁(x) и F₂(x) — первообразные для функцииf(х) на некотором промежутке X, то найдется такое число С, что будет справедливо равенство F₂(x)=F₁(x)+C. Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке X называется неопределенным интегралом от функции f9x) и обозначается , где знак интеграла,

— подынтегральная функция, — подынтегральное выражение. Таким образом, , где — некоторая первообразная для , С — произвольная постоянная.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.Е . Доказательство: Дифференцируя левую и правую части равенства , получаем:

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынте­гральному выражению, т.Е.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.Е. , где с—произвольное число.

4. Постоянный множитель можно выносить за злак интеграла т.Е. ,где α — некоторое число.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е. Нетрудно видеть, что свойство 5 остается справедливым для любого конечного числа слагаемых.