17. Теорема (признак сравнения). Пусть даны два ряда с положи-тельными членами: и , причем члены первого ряда не превосходят членов второго, т.е. при любом n . Тогда: а) если сходится ряд 2, то сходится и ряд 1; б) если расходится ряд 1, то расходится и ряд 2. Замечание. Так как сходимость рада не изменяется при отбрасывании конечного числа членов ряда, то условие не обязательно Должно выполняться с первых членов рядов и только для членов с одинаковыми номерами n. Достаточно, чтобы оно выпол­нялось, начиная с некоторого номера n=k, или чтобы имело место неравенство , где m — некоторое целое число.Отметим эталонные ряды, часто используемые для сравнения:1) геометрический ряд — сходится при |q|<1, расходится при |q|≥1; 2)гармонический ряд расходится; 3) обобщенный гармонический ряд сходится при α>1, расходится при α≤1. Теорема (предельный признак сравнения). Если и - ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членов , то ряды одновременно сходятся, либо расходятся.

18. Теорема (признак Даламбера). Пусть для ряда с положительным членами существует предел отношения (n+1)-го члена к n-му члену . Тогда, если <1, то ряд сходится; если >1, то ряд расходится; если =1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным. Замечание. Если , то ряд расходится.

19. Если для числового ряда с неотрицательными членами существует такое число d, 0<d<1. что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то данный ряд сходится.

20. Знакочередующиеся ряды. Под знакочередующимсярядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны: . Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине ипредел его общего члена при n→∞равен нулю, т.е. торяд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: . Следствие. Погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена.

21. . Такие ряды называются степенными, а числа — коэффициентамистепенного ряда. Совокупность тех значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда. Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля. Теорема Абеля. 1) Если степенной ряд сходится при значенииx=x₀≠0, то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях х таких, что |х|<|х₀|. 2) Если степенной ряд расходится при х=x₁, то он расходится при всех значениях х таких, что |х|>|x₁|. Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R≥0, что при |x|<R ряд сходится, а при |x|>R— расходится. Число Rполучило название радиуса сходимости, а интервал (-R; R) — интервал сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, т.е. при х=-Rи х=R, ряд может как сходиться, так и расходиться. . Замечание. Следует отметить, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R=0), у других охватывает всю осьОх (R=∞). Свойства степенных рядов. Пусть функция f(x) является суммой степенного ряда, т.е. . В подобных курсах математического анализа доказывается., что степенные ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы (многочлены): на любом отрезке [а, b], целиком принадлежащем интервалу сходимости (-R;R), функция f(х) является непрерывной, а следовательно, степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке: . Кроме того, в интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать: . При этом после интегрирования или дифференцирования по­лученные ряды имеют тот же радиус сходимости R.

22. Предположим, что функция f(х), определенная и nраз дифференцируемая в окрестности точки х=0, может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, другими словами, может быть разложена в степенной ряд . Выразим коэффициенты ряда через f(х). Найдем производные функции f(х), почленно дифференцируя ряд nраз:

, , , , .

Полагая в полученных равенствах х=0, получим , откуда . Подставляя значения коэффициентов , получим ряд . называемый рядом Маклорена.Следует отметить, что не все функции могут быть разложены в ряд Маклорена. Может оказаться, что ряд Маклорена, составленный формально для функции f(х), является расходящимся либо сходящимся не к функции f(х).Так же как и для числовых рядов, сумму f(х) ряда Маклорена можно представить в виде , где S_n(х) — n-я частичная сумма ряда; r_n(х) — n-й остаток ряда. Тогда на основании свойства 4 сходящихся рядов (Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы при n→∞ остаток ряда стремился к нулю, т.е. чтобы .) можно сформулировать теорему. Теорема. Для того чтобы ряд Маклорена сходился к функции f(х), необходимо и достаточно, чтобы при n→∞ остаток ряда стремился к нулю, т.е. для всех значений х из интервала сходимости ряда.Если функция f(х) разложима в ряд Маклорена, то это разложение единственное. Замечание. Ряд Маклорена является частным случаем ряда Тейлора: . Ряд Тейлора тесно связан с формулой Тейлора: , где — остаточный член формулы Тейлора: , , записанный в форме Лагранжа. Очевидно, что при выполнении условия остаток ряда Тейлора равен остаточному члену формулы Тейлора.

23. . Имеем

По формуле :

Область сходимости рада (-∞; +∞).

24. У=sin х. Имеем , откуда и т.д. Очевидно, что производные четного порядка , а нечетного порядка . По формуле : . Область сходимости ряда (-∞; +∞).

25. У=sin х. Имеем , откуда и т.д. Очевидно, что производные четного порядка , а нечетного порядка . По формуле : . Область сходимости ряда (-∞; +∞).

y=cos х Рассматривая аналогично, получим

Область сходимости ряда (-∞; +∞).

26. Y=ln(1+x). Получить разложение для этой функции можно проще, и вычисляя непосредственно коэффициенты ряда с помощью производных.

Рассмотрим геометрический ряд со знаменателем q=-x, который сходится при |q|=|-x|<1, т.е.

при -1<х<1, к функции . Интегрируя почленно в интервале (0; х), где |x|<1, с учетом того, что .Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала сходимости) есть (—1; 1].

27. , где m— любое действительное число. Имеем . При . По формуле : . Интервал сходимости рада (-1; 1) (на концах интервала при х=±1 сходимость ряда зависит от конкретных значений m).Ряд называется биномиальным. Если m — целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютонатак как при n=m+1 m-n+1=0, n-й член ряда и все последующие равны нулю, т.е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.

28. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде или в виде , где f(x), М(х), Р(х) — некоторые функции переменной х; g(y), N(y), Q(y) — функции переменной у. Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной х окажут­ся в одной части равенства, а переменной у - в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства. Например, из следует, что .Выполняя интегрирование, приходим к решению уравнения .

29. Дифференциальное уравнение Бернулли. Дифференциальное уравнение вида: называется уравнением Бернулли (при n=0 или n=1 получаем неоднородное или однородное линейное уравнение). Метод решения. Первый способ: Разделим все члены уравнения на yⁿ получим . Заменой дифференцируя получаем , уравнение приводится к линейному и может быть решено методом Лагранжа.

Второй способ: Заменим . Тогда . Подберем так, чтобы было , для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения получаем уравнение — уравнение с разделяющимися переменными.

31. Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая mстрок и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, A, B, C,…, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: , где i — номер строки, j — номер столбца. Например, матрица . Две матрицы Aи Bодного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. для любых Виды матриц. Матрица, состоящая из одной строки, называет­ся матрицей-строкой, а из одного столбца — матрицей-столбцом. Матрица называется квадратной n-то порядка, если число её строк равно числустолбцов и равно n. Элементы матрицы , у которых номер столбца равен номеру строки (i=j) называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы. . . Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-го порядка, она обозначается буквой Е. Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все её элементы равны нулю. Операции над матрицами: 1) Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число λ. называется матрица B=λA, элементы которой для i=1, 2.....m; j=1, 2, n.2) Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С=А+В, элементы которой , для i=1, 2, ..m; j=1, 2,… n (т.е. матрицы складываются поэлементно). В частном случае .A+0=A. 3) Вычитание матриц. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: А-В=А+(-1)В.4) Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц называется такая матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицыАна соответствующие элементы j-го столбца матрицы В: . 5) Возведение в степень. Целой положительной степенью А^т (т>1) квадратной матрицыАназывается произведение т матриц, равных А. 6) Транспонирование матрицы — переход от матрицы А к мат­рице А', в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. МатрицаА' называется транспонированной относительно матрицы А:

Из определения следует, что если матрицаАимеет размер , то транспонированная матрица А' имеет размер .