Билет 25:

При исследовании функции важно установить форму ее графика при неограниченном удалении точки графика от начала координат.Особый интерес представляет случай, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.(картинки на листочке) Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асимптоту и переходя с одной ее стороны на другую.Если обозначим через d расстояние от точки M кривой до асимптоты, то ясно, что d стремится к нулю при удалении точки M в бесконечность.Будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные и наклонные.ВЕРТИКАЛЬНЫЕ АСИМПТОТЫПусть при x→ x0 с какой-либо стороны функция y = f(x)неограниченно возрастает по абсолютной величине, т.е. ………… или……. или …….. Тогда из определения асимптоты следует, что прямая x = x0 является асимптотой. Очевидно и обратное, если прямая x = x0 является асимптотой, т. о. ……....Таким образом, вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий x→ x0 – 0 или x → x0 + 0, x = x0Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот графика функции y = f(x) нужно найти те значения x = x0, при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение x = x0.(рисуночек смотрите,братюни)НАКЛОННЫЕ АСИМПТОТЫПоскольку асимптота – это прямая, то если кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту, то ее уравнение будет y = kx + b. Наша задача найти коэффициенты k и b.Теорема. Прямая y = kx + b служит наклонной асимптотой при x → +∞ для графика функции y = f(x) тогда и только тогда, когда …………Аналогичное утверждение верно и при x → –∞.Замечание 1. Теорема показывает, что для нахождения асимптот достаточно найти два указанных предела. Причем, если хотя бы один из пределов не существует или обращается в бесконечность, то кривая асимптот не имеет.Замечание 2. В случае, когда k = 0 асимптота y = b называется горизонтальной асимптотой. Наличие горизонтальной асимптоты означает, что существуют пределыЗамечание 3. Пределы для отыскания k и b могут быть различны при x → +∞ и x → – ∞ и, следовательно, график функции может иметь две различные асимптоты при x → +∞ и x → –∞.

Билет 26:Первообразная и неопределенный интеграл. Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f '(x) или дифференциала f '(x)dx данной функции f(x)   В интегральном исчислении решается обратная задача:   Дана функция f(x); требуется найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx в области определения функции f(x), т.е. в этой области функции f(x) и F(x) связаны соотношением

F'(x)=f(x)

или

dF(x)= F'(x)dx= f(x)dx

  Определение 1: Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x), если для любого x из области определения f(x) выполняется равенство F'(x)= f(x) или dF(x)= f(x)dx   Из дифференциального исчисления известно что если две функции f(x) и (x) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, т.е. если

f(x) = (x) + C

  то

f '(x) = '(x)

  или

f '(x)dx = '(x)dx

  Известно также, что, и наоборот, если две функции f(x) и (x) имеют одну и ту же производную или один и тот-же дифференциал, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, т.е. если

f '(x) = '(x) или df(x) = d(x),

  то

f(x) = (x) + С

  Отсюда непосредственно следует, что если в формуле y = F(x) + C мы будем придавать постоянной C все возможные значения, то получим все возможные первообразные функции для функции f (x)   Определение 2: Множество F(x) + C всех первообразных функций для данной функции f (x) , где C принимает все возможные числовые значения, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом

  Таким образом, по определению,

где F'(x) = f (x) или dF(x) = f(x)dx и С - произвольная постоянная. В последней формуле f(x) называется подинтегральной функцией, f(x)dx - подинтегральным выражением, а символ - знаком неопределенного интеграла.   Неопределенным интегралом называют не только множество всех первообразных, но и любую функцию этого множества.   Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подинтегральному выражению, а производная равна подинтегральной функции   Нахождение первообразной по данной функции f(x) называется интегрированием и является действием, обратным дифференцированию.

Билет 27:

Неопределенный интеграл

     Первообразная

     Первообразной функции f на промежутке I называется функция F, такая, что

     Неопределенный интеграл

где F - первообразная функции f (на промежутке); C - произвольная постоянная.

     Основные свойства

     1.    

     2.    

     3. Если то

     4.

     Замена переменных в неопределенном интеграле

     1.

     2. Если - первообразная для то

Билет 28:

Метод замены переменной (метод подстановки)Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.Пусть требуется вычислить интеграл…………. Сделаем подстановку……… где — функция, имеющая непрерывную производную.Тогда……………. и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:………..(решение на листке)

Билет 29:

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

для определённого:

Предполагается, что нахождение интеграла проще, чем . В противном случае применение метода не оправданно.

для неопределённого интеграла

Функции и гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

После перестановок:

Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во время интегрирования.

Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:

Отсюда «следствие»: 0 = 1, что очевидно неверно.

Билет 30:

1. Интеграл от степенной функции

2. Интеграл от константы

3. Интеграл от синуса

4. Интеграл от косинуса

5. Интеграл от экспоненты

6. Интеграл от показательной функции

7. Интеграл от обратной пропорциональности

8.Интеграл, равный тангенсу

9. Интеграл, равный котангенсу

10. Интеграл от тангенса

11. Интеграл от котангенса

12. Интеграл, равный арксинусу

13. Интеграл, равный минус арккосинусу

14. Интеграл от секонса

15. Интеграл от косеконса

16. Интеграл, от обратной величины к разности квадратов

17. Полезный интеграл, содящийся к арксинусу

18. Полезный интеграл, сводящийся к арктангенсу

19. Интеграл, сводящийся к натуральному логарифму

Билет31Интегральная сумма – сумма, через предел которой вводится определённый интеграл.Интегральные суммы бывают разного вида, наиболее известными являются интегральные суммы Римана и интегральные суммы Лебега. Если действительная функция  f(x) одного переменного x определена на отрезке [a, b], который разбит точками ,  и заданы точки  k=1,…,n,  то интегральной суммой (Римана) называется  где  k=1,…,n.  Интеграл Римана определяется через предел таких интегральных сумм и может с помощью них вычисляться приближённо. Используя интегральные суммы указанного вида и другие понятия предела можно получить и ещё некоторые интегралы (например, интеграл Курцвейля-Хенстока). Понятие интегральных сумм Римана можно ввести и для функций нескольких переменных. Вместе с интегральными суммами Римана часто используются верхняя  и нижняя  суммы Дарбу, где    Суммы Дарбу – точная верхняя и точная нижняя грани интегральных сумм Римана.

Если действительная функция   f(x)  одного переменного  x  определена на отрезке  [a, b]  и принимает значения из полуотрезка  [A, B), который разбит  точками    и заданы точки      k=1,…,n,  то интегральной суммой Лебега называется    где множество а   – мера Лебега множества    введённое А. Лебегом обобщение понятия длины. Интеграл Лебега от ограниченных функций определяется через предел таких интегральных сумм и может с помощью них вычисляться приближённо. Для неограниченных функций можно разбивать точками всю ось  OY и аналогично вводить бесконечные интегральные суммы Лебега.Понятие интегральных сумм Лебега можно ввести и для функций нескольких переменных.Определённый интегралОпределённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).Данное выше определение интеграла при всей его кажущейся общности в итоге приводит к привычному пониманию определённого интеграла, как площади подграфика функции на отрезке.

Пусть f(x) определена на [a;b]. Разобьём [a;b]на части с несколькими произвольными точками a = x₀ < x₁ < x₂ < x_n = b Тогда говорят, что произведено разбиение R отрезка [a;b] Далее выберем произв. точку , i = 0, Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b]называется предел интегральных сумм Θ_R при , если он существует независимо от разбиения R и выбора точек ξ_i, т.е. (1) Если существует (1), то функция f(x) называется интегрируемой на [a;b] – определение интеграла по Риману.

• 

• a – нижний предел.

• b – верхний предел.

• f(x) – подынтегральная функция.

• λ_R - длина частичного отрезка.

• σ_R – интегральная сумма от функции f(x) на [a;b] соответствующей разбиению R.

• λ_R - максимальная длина част. отрезка.

Определение интеграла на языке , δ:(по "Коши") Число I – называется определённым интегралом от f(x) на [ a ; b ], если для любого ε>0 существует δ=δ(ε)>0: для любого разбиения R отрезка [ a ; b ]: λ_R < δ, выполняется неравенство: |I- σ_R | = |∑^n-1_i=0f(ξi) Δxi - I| < ε при любом ξi є [ xi ; xi+1] Тогда I = ∫_a^bf(x)dx