Билет 9:

Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Часто под термином «функция» понимается числовая функция; то есть функция которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представляются на рисунках в виде графиков.

Область определения функции — множество, на котором задаётся функция

Если задана функция, которая действует из одного множества в другое, то множество, из которого действует данная функция, называется областью определения.

Более формально, пусть задано отображение , которое отображает множество в , то есть: ; тогда

множество называется областью определения функции

и обозначается D(f), или (от англ. domain «область»).

Обычно предполагается, что , из-за чего понятие области определения выглядит тавтологией: «область определения функции — это область, где определена функция». Для того, чтобы придать чёткий смысл данному понятию, рассматривается некоторое более широкое множество, которое называется областью отправления, и тогда область определения функции  — это такое подмножество множества (которое и есть область отправления функции), где для каждого элемента определено значение функции .

Этот факт коротко записывают в виде: .

Предел функции (предельное значение функции) — одно из основных понятий математического  и  функционального анализов. Предел - это значение, к которому функция в определённом смысле приближается при приближении аргумента к определённой точке.

Предел функции в точке.

Пусть функция f(x) определена на множестве X = {x}, имеющем точку сгущения a. Запись

              (1)

обозначает, что для каждого числа ε > 0 существует число δ = δ(ε) > 0 такое, что для всех x, для которых f(x) имеет смысл и которые удовлетворяют условию 0 <|x - a|< δ, справедливо неравенство

|f(x) – A| < ε.

Для существования предела функции (1) необходимо и достаточно, чтобы для каждой последовательности x_n → a, x_n ≠ a (x_n є X; n = 1, 2, …), было выполнено равенство

.

Имеют место два замечательных предела:

1) ,           2)     .

Критерий Коши.  Предел функции f(x) в точке a существует тогда и только тогда, если для каждого ε > 0  найдется δ = δ(ε) > 0 такое, что

|f(x’) – f(x’’)| < ε,

Как только 0<|x’ - a|<δ  и  0<|x’’ - a|<δ, где x’ и x’’ – любые точки из области определения функции f(x).  

билет 10: Односторонний предел числовой функции в точке — это специфический предел, подразумевающий, что аргумент функции приближается к указанной точке с определённой стороны (слева или справа). Числовая функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке совпадающие левый и правый пределы. (последний вопрос(вроде))Правило Бернулли[1]-Лопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и бесконечность/бесконечность. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных. билет 12:

Свойства пределов функции Пусть XÌ¡, x0 – точка прикосновения множества X. Справедливы следующие свойства пределов функций. Свойство. Если функции…. И…… таковы, что….. , то найдётся проколотая окрестность точки x0, на пересечении которой с множеством X выполнено неравенство f(x) < g(x).Определение бесконечно малых и бесконечно больших функций Все рассматриваемые в этом и следующем пункте функции будем предполагать определёнными на множестве XÌ¡ и рассматривать их конечные и бесконечные пределы при стремлении аргумента к конечной или к бесконечно удалённой точке x0. Взаимосвязь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциямиКлассификация бесконечно малых функций Во многих случаях представляет интерес сравнение бесконечно малых между собой по характеру их приближения к нулю. Рассмотрим две бесконечно малые a(x) и b(x) при x®x0 и предположим, что b(x) не обращается в ноль в некоторой проколотой окрестности точки x0. Будем сравнивать эти бесконечно малые, изучая поведение их отношения при x®x0.Классификация бесконечно больших функций Для бесконечно больших величин может быть развита та же классификация. Точки непрерывности и точки разрыва функцииТочки разрыва функции и их классификация Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой этой точки. Точка x0 называется точкой разрыва функции f, если функция f не определена в точке x0 или если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.Критерий существования предела функции Существование предела монотонной функции Вопрос о существовании предела функции особенно просто решается для функций частного типа, представляющих обобщение понятия монотонной последовательности.Критерий Коши существования предела функции В настоящем пункте по аналогии со случаем последовательностей будет получено необходимое и достаточное условие того, что функция имеет конечный предел в данной точке x0.Предел и непрерывность композиции функции Рассмотрим вопрос о существовании конечных и бесконечных пределов композиции функций, каждая из которых имеет соответствующий предел. Можно показать, что все рассмотренные ранее элементарные функции и их суперпозиции непрерывны на области их определения. Свойства функций, непрерывность на отрезке Предел всякой подпоследовательности последовательности, имеющей конечный или бесконечный предел, равен пределу всей последовательностиПромежуточные значения непрерывных на отрезке функций Теорема (теорема Больцано–Коши). Непрерывность на отрезке Функция f, определённая на числовом множестве X, называется строго возрастающей (строго убывающей), если для любых двух чисел x1ÎX и x2ÎX таких, что x1<x2, выполняется неравенство f(x1)<f(x2) (соответственно f(x1)>f(x2)). Функция, строго возрастающая или строго убывающая, называется строго монотонной. В силу леммы 6, функция однозначная и строго возрастает на отрезке Равномерная непрерывность.

Функция f (x) называется бесконечно малой функцией в точке х = х0, если (на листочке1) Аналогично определяются бесконечно малые функции при x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x0 – 0, x → x0 + 0.Можно дать равносильное определение бесконечно малой функции «на языке ε – δ: функция f (x) называется бесконечно малой в точке х = х0, если для любого как угодно малого ε > 0 существует δ = δ(ε) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х – x0 | < δ, выполняется неравенство | f (x) | < ε. Или в символьном виде ( ε > 0) ( δ = δ(ε) > 0)( 0 < |х – х0| < δ ) : | f (x) | < ε. Имеет место следующая теорема: функция f (x) в окрестности точки х0 отличается от своего предельного значения A на бесконечно малую функцию. Доказательство. Пусть (на листочке 2) Рассмотрим разность f (x) – А = α(х). Так как (на листочке 3) то функция α(х) является бесконечно малой при x → х0.Функция f (x) называется бесконечно большой функцией в точке х = x0 (или x → x0), если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ(K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < | x – х0 | < δ , выполняется неравенство | f (x) | > К. В этом случае пишут (на листочке 4) и говорят, что функция стремится к бесконечности при х → х0 , или что она имеет бесконечный предел в точке х = х0. Если же в определении выполняется неравенство f (x) > K (f (x) < – K) , то пишут(на листочке 5) или (на листочке 6)и говорят, что функция имеет в точке х0 бесконечный предел, равный + ∞ (– ∞). По аналогии с конечными односторонними пределами определяются и бесконечные односторонние пределы: (на листочке 7)Так, например, пишут (на листочке 8) если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ(K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию х0 < x < х0 + δ , выполняется неравенство f (x) > К. Или в символической записи ( K > 0) ( δ = δ(K)> 0)( x0 < х < x0+δ ) : f (x) > K.

Билет13:

билет 14: Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование

Билет15:

ЭЛАСТИЧНОСТЬ ФУНКЦИИ (иногда ее называют относительной производной) — предел отношения относительного приращения функции y (зависимой переменной)… к относительному приращению независимой переменной x ….когда Δx и Δy→ 0 обозначается символом Ex(y) и выражается следующей формулой:……Э. ф. является, таким образом, мерой реагирования одной переменной величины на изменения другой, и из практических соображений ее в ряде экономико-математических моделей интерпретируют как приближенный процентный прирост функции (повышение или понижение), соответствующий приращению независимой переменной на 1%

билет 16:

основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Билет 17:

Производная постоянной величины.

Если f(x) = С, то

Производная функции, умноженной на постоянную величину.

Пусть k некоторая константа. Если f(x) - дифференцируемая функция, то произведение kf(x) также дифференцируемо и

Производная суммы функций.

Пусть f(x) и g(x) являются дифференцируемыми функциями. Тогда сумма двух функций также дифференцируема и

Пусть n функций f₁(x), f₂(x),…, f_n(x) являются дифференцируемыми. Тогда их сумма также дифференцируема и

Из этого и предыдущего правил следует, что производная разности функций равна разности производных при условии дифференцируемости данных функций:

Можно сформулировать более общее правило:

Производная линейной комбинации функций.

Предположим, что f(x) и g(x) являются дифференцируемыми функциями, а a и b - произвольными действительными числами. Тогда функция h(x) = af(x) + bg(x) также дифференцируема и

Билет 18:

Пусть задана функция y = f (x)….., Тогда каждому числу соответствует единственное число …….. Иногда приходится по значению функции y0 находить значение аргумента x0, то есть решать уравнение f (x) = y0 относительно x. Это уравнение может иметь несколько или даже бесконечное количество решений (решениями являются абсциссы всех точек, в которых график y = f (x) пересекается с прямой y = y0).Если функция f такова, что каждому значению……… соответствует только одно значение……. то эту функцию называют обратимой. Для такой функции уравнение y = f (x) можно при любом y однозначно разрешить относительно x, то есть каждому…….. соответствует единственное значение …..Это соответствие определяет функцию, которую называют обратной к функции f и обозначают символом f–1.Пусть g = f–1. Тогда:D (g) = E (f), E (g) = D (f);для любого……….. g (f (x)) = x,для любого….. f (g (x)) = x;графики функций y = f (x) и y = g (x) симметричны друг другу относительно прямой y = x.Если функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает (строго убывает) на отрезке [a; b], то на отрезке [f (a); f (b)] определена функция x = g (y), обратная к f, непрерывная и строго возрастающая (строго убывающая).Пусть функции x = f1 (t) и y = f2 (t) определены на множестве E, и пусть D – множество значений функции f1. Если функция f1 обратима на E и…… – обратная к ней функция, то на множестве D определена сложная функция ……. которую называют параметрически заданной уравнениями x = f1 (t) и y = f2 (t).Докажем теорему, позволяющую находить производную функции y=f(x), зная производную обратной функции.Теорема. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у0 имеет производную g '(v0), отличную от нуля, то в соответствующей точке x0=g(x0) функция y=f(x) имеет производную f '(x0), равную……… , т.е. справедлива формула………..Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y0, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x0=g(y0). Следовательно, при Δx→0 Δy→0.Покажем, что ………….Пусть……… . Тогда по свойству предела…………….. . Перейдем в этом равенстве к пределу при Δy→0. Тогда Δx→0 и α(Δx)→0, т.е. …………..Следовательно,……………………..что и требовалось доказать.Эту формулу можно записать в виде ……………

Билет 20:

Пусть x=x(t), y=y(t) – дифференцируемы в точке t, z=f(x,y) – дифференцируема в точке t(x,y), если t получит Δt, то x получит Δx, y – Δy, z –Δz, а т.к. функция z дифференцируема, то ее приращение

Таблица производных:

билет 21: Логарифмическая произво́дная — производная от натурального логарифма функции.

Билет 22:

Пусть задана функция y = f (x)….., Тогда каждому числу соответствует единственное число …….. Иногда приходится по значению функции y0 находить значение аргумента x0, то есть решать уравнение f (x) = y0 относительно x. Это уравнение может иметь несколько или даже бесконечное количество решений (решениями являются абсциссы всех точек, в которых график y = f (x) пересекается с прямой y = y0).Если функция f такова, что каждому значению……… соответствует только одно значение……. то эту функцию называют обратимой. Для такой функции уравнение y = f (x) можно при любом y однозначно разрешить относительно x, то есть каждому…….. соответствует единственное значение …..Это соответствие определяет функцию, которую называют обратной к функции f и обозначают символом f–1.Пусть g = f–1. Тогда:D (g) = E (f), E (g) = D (f);для любого……….. g (f (x)) = x,для любого….. f (g (x)) = x;графики функций y = f (x) и y = g (x) симметричны друг другу относительно прямой y = x.Если функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает (строго убывает) на отрезке [a; b], то на отрезке [f (a); f (b)] определена функция x = g (y), обратная к f, непрерывная и строго возрастающая (строго убывающая).Пусть функции x = f1 (t) и y = f2 (t) определены на множестве E, и пусть D – множество значений функции f1. Если функция f1 обратима на E и…… – обратная к ней функция, то на множестве D определена сложная функция ……. которую называют параметрически заданной уравнениями x = f1 (t) и y = f2 (t).Докажем теорему, позволяющую находить производную функции y=f(x), зная производную обратной функции.Теорема. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у0 имеет производную g '(v0), отличную от нуля, то в соответствующей точке x0=g(x0) функция y=f(x) имеет производную f '(x0), равную……… , т.е. справедлива формула………..Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y0, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x0=g(y0). Следовательно, при Δx→0 Δy→0.Покажем, что ………….Пусть……… . Тогда по свойству предела…………….. . Перейдем в этом равенстве к пределу при Δy→0. Тогда Δx→0 и α(Δx)→0, т.е. …………..Следовательно,……………………..что и требовалось доказать.Эту формулу можно записать в виде ……………

Билет23:Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность типа или . Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

Если и , то ;

Если и , то аналогично .

Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа . Первые две неопределенности можно свести к типу или с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности сводятся к типу с помощью соотношения

Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов.

билет 24: Исследование функций на выпуклость и вогнутость: Пусть функция f (х) задана на интервале (a, b) и х1, х2 – любые различные точки этого интервала. Через точки А (х1, f (х1)) и В (х2, f (х2)) графика функции f (х) проведем прямую, отрезок АВ которой называется хордой. Уравнение этой прямой запишем в виде у = у(х). Функция f (х) называется выпуклой вниз на интервале (a, b), если для любых точек х1, х2 Î (a, b), а £ х1 < х2 £ b, хорда АВ лежит не ниже графика этой функции, т. е. если f (х) £ у (х), œ х Î [х1, х2] Ì (a, b): Заметим, что выпуклую вниз функцию иногда называют вогнутой функцией. Аналогично определяется выпуклость функции вверх. Функция f (х) называется выпуклой вверх на интервале (a, b), если для любых точек х1, х2 Î (a, b), а £ х1 < х2 £ b, хорда АВ лежит не выше графика этой функции, т. е. если f (х) 3 у (х), œ х Î [х1, х2] Ì (a, b): Теорема 3 (достаточное условие выпуклости). Если f (х) – дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b) и 1) f ''(х) > 0, œ х Î (a, b), то на (a, b) функция f (х) выпукла вниз; 2) f ''(х) < 0, œ х Î (a, b), то на (a, b) функция f (х) выпукла ТОЧКА ПЕРЕГИБА: точка х0 - точка перегиба функции f (х), если при переходе через точку х0 функция f (х) меняет характер выпуклости.