17. Локальные минимумы и максимумы. Необходимые и достаточные условия. Исследование поведения дифференцируемой функции.

Точка х0 называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f(x), если для всех х из некоторой d-окрестности точки х0 выполняется неравенство f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0)) при х ¹ х0. Локальный максимум (max) и локальный минимум (min) объединяются общим названием локальный экстремум.

Необходимое условие: Если функция f(x) имеет в точке х0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то f '(x0) = 0. Доказательство: Т.к. в точке х0 функция f(x) имеет локальный экстремум, то существует такой интервал (x0 – d, x0 + d), в котором значение f(x0) является наибольшим или наименьшим среди всех других значений этой функции. Тогда по теореме Ферма f '(x0) = 0.

Понятие экстремума носит локальный характер в том смысле, что неравенство f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0)) может и не выполняться для всех значений х в области определения функции, а должно выполняться лишь в некоторой окрестности точки х0. Функция может иметь несколько локальных максимумов и локальных минимумов, причем может так случиться, что иной локальный максимум окажется меньше какого-то локального минимума.

Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки х0. Если при переходе через эту точку слева направо производная f '(x) меняет знак с “+” на “-” ( c “-” на “+”), то в точке х0 функция f(x) имеет локальный максимум (минимум). Если же f '(x) не меняет знак в d-окрестности точки х0, то данная функция не имеет локального экстремума в точке х0.

Пусть при переходе через точку х0 производная меняет знак с “+” на “-” в интервале (х0 - d, х0 + d). Возьмем произвольную точку х Î(х0 - d, х0), х ¹ х0; на отрезке [x, x0] выполняются условия: f(x0) - f(x) = f '(с)(х0 - х), сÎ(х, х0). Т.к. f '(x)>0 при хÎ(х0 - d, х0) и х0 >х, получим f(x) < f(x0). Возьмем точку хÎ(х0, х0 + d), х ¹ х0; на отрезке [x0, x] выполняются условия: f(x) - f(x0) = f '(с)(х - х0), сÎ(х0, х). Т.к. f '(х) < 0 при хÎ(х0, х0 + d) и х0 < x, получим f(x0) > f(x). Þ в d-окрестности точки х0 выполняется условие локального максимума. Случай локального минимума доказывается аналогично. Если же f '(x) не меняет знака при переходе через точку х0, то она является монотонной на интервале (х0 - d, х0 + d) Þ не имеет локального экстремума в точке х0.

Если первая производная f '(x) дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке x0, а f''(x0) в этой точке > 0, то точка x0 есть точка минимума функции f(x); если f ''(x0) < 0, то x0 – точка максимума.

Доказательство. Пусть f '(x0) = 0, а f'' (x0) > 0. Это означает, что f ''(x) = (f '(x))' > 0 также и в некоторой окрестности точки х0, т.е. f '(x) возрастает на на некотором интервале (a, b), содержащим точку х0. Но f '(x0) = 0, следовательно, на интервале (а, х0) f '(x0) < 0, а на интервале (х0, b) f '(x0) > 0. т.е. f '(x) при переходе через точку х0 меняет знак с минуса на плюс, т.е. х0 – точка минимума.

Схема исследования функции y = f(x) на экстремум:

1. Найти производную f '(x).

2. Найти критические точки функции, в которых

производная f '(x) = 0 или не существует.

3. Исследовать знак производной справа и слева от каждой

критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов.

( 3a. Найти вторую производную f ''(x) и определить ее знак

в каждой критической точке. Сделать вывод о наличие

экстремумов в критических точках.)

4. Найти экстремумы функции.

Схема для отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке [a, b]:

1. Найти производную f '(x). 2. Найти критические точки функции, в которых f '(x) = 0 или не существует. 3. Найти значения функции в точках экстремума и на концах отрезка [a, b] и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

18. Приложения производной в экономической теории.