Предел по Гейне:

Число А называется пределом функции f(x) в точке а, если для любой, сходящейся к точке а последовательности значений аргумента х (отличных от а), соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

Число А называется пределом функции f(x) в точке а, если для любого e-окрестности точки А, можно найти проколотую d-окрестность точки а, такую, что для всех х из этой окрестности соответствующие значения функции принадлежат e-окрестности точки А. – по Коши.

Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке а, если для любой сходящейся к а последовательности x1, x2, …, xn, … такой, что xn > a (xn < a), соответствующая последовательность f(x1), f(x2), …, f(xn), … сходится к А.

Число А называется пределом функции f(x) при х®+¥ , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента x1, x2, …, xn, … ( xn >0 ) соответствующая последовательность значений функции f(x1), f(x2), …, f(xn), … сходится к А.

Ч исло А называется пределом функции f(x) в + бесконечности, если для любой e-окрестности точки А, можно найти N-окрестность + бесконечности, такую, что для всех х из этой окрестности соответствующие значения функции принадлежат e-окрестности точки А.

Функция f(x) имеет в точке а предел равный плюс бесконечности (является положительной бесконечно большой в окрестности точки а ), если для любой N-ок-рестности плюс бесконечности, можно найти проколотую d-окрестность точки а, такую, что для всех х из этой окрестности соответствующие значения функции принадлежат N-окрестности плюс бесконечности.

Функция f(x) называется бесконечно малой в окрестности точки а (в точке а), если ее предел в этой точке равен 0.

Для того, чтобы функция f(x) имела конечный предел в точке а необходимо и достаточно, чтобы функция a(х) = f(x) – A была бесконечно малой при х ® а.

Свойства бесконечно малых:

• Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

• Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая

• Величина обратная бесконечно малой есть величина бесконечно большая

• Величина обратная бесконечно большой есть величина бесконечно малая

11. Основные теоремы о пределе функции в точке. Первый и второй замечательные пределы.

Т1. (О единственности предела)

Если функция f(x) имеет предел в точке а, то этот предел единственный.

Т2. (О предельном переходе в неравенстве )

П усть функции f(x) и g(x) определены на одном и том же промежутке Х и существуют пределы этих функций в т. а

Кроме того, существует такое число d > 0, что для всех х из d-окрестности числа а f(x) ³ g(x). Тогда A ³ B.

Т3. (Об ограниченности функции имеющей предел)

Е сли функция f(x) имеет конечный предел в точке а, то существуют числа М > 0 и d > 0 такие, что для всех х из d-окрестности точки а

Т 4. Пусть функции f(x), g(x) и h(x) определены в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а, функции f(x) и h(x) имеют в точке а предел, равный А, т.е.

Т огда если f(x) £ g(x) £ h(x), то

Т5. (Связь предела с алгебраическими операциями)

Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке а пределы В и С. Тогда функции f(x) ± g(x), f(x) × g(x) и f(x)/g(x) (при С ¹ 0) имеют в точке а пределы, равные В ± С, В × С и B/C соответственно.