12. Непрерывные функции. Определение, теорема о непрерывности суммы, разности, произведения и частного двух функций. Характеристика точек разрыва функции.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если предел этой функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Через односторонние пределы:

( на языке последовательностей). Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любой последовательности значений аргумента {x_n}, сходящейся к х₀, последовательность соответствующих значений функций {f(x_n)} сходится к f(x₀). Если то функцию f(x) называют непрерывной в точке х₀ справа (слева). Если функция f(x) непрерывна в точке х₀ и справа и слева, то она непрерывна в этой точке.

П усть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀. Тогда функции f(x) ± g(x), f(x)×g(x) и f(x)/g(x) также непрерывны в этой точке (последняя при g(x)¹0). Доказательство. Теорема следует из определения непрерывности функций.

Если существует , но функция в точке x₀ не определена, то разрыв функции в точке называется устранимым. (например, фц у=х²-4/х-2 – т.р. х₀=2)

Т очка х₀ называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) в точке х₀ не является непрерывной. Точка х₀ называется точкой разрыва 1-го рода функции f(x), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг к другу правый и левый пределы:

Точка х₀ называется точкой разрыва 2-го рода функции f(x), если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из них из односторонних пределов бесконечен. Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна во всех внутренних точках [a,b], за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв 1-го рода и, кроме того, имеет односторонние пределы в точках а и b. Функция называется кусочно-непрерывной на числовой прямой, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке.

13. Свойства непрерывных функций. Понятие равномерной непрерывности функции.

Теорема (об устойчивости знака непрерывной функции)

Пусть функция f(x) непрерывна в точке х₀ и f(x₀) ¹ 0. Тогда существует d > 0 такое, что для всех хÎ(х₀ – d, х₀+d) функция f(x) имеет тот же знак, что f(x₀).

Доказательство: Пусть f(x₀) > 0. Тогда в силу (Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любой последовательности значений аргумента {x_n}, сходящейся к х₀, последовательность соответствующих значений функций {f(x_n)} сходится к f(x₀).) для "e>0 $d>0 такое, что неравенство |f(x) – f(x₀)|<e выполняется для всех х, удовлетворяющих неравенству |x – x₀| < d. Или f(x₀) – e < f(x) < f(x₀) + e для всех хÎ(х₀ – d, х₀ + d). Возьмем e = f(x₀). Тогда f(x) > 0 для всех х Î (х₀ – d, х₀ + d). Что и треб докть.

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка с(a,b), в которой f(с) = 0.

П усть для определенности f(a)<0 и f(b)>0. Разделим [a,b] пополам. Если значение функции в середине [a,b] равно нулю, то теорема доказана. В противном случае выберем тот из двух полученных отрезков, на концах которого f(x) имеет значения разных знаков, обозначим его [a₁,b₁]. Разделим его пополам. Если значение функции в середине отрезка [a₁, b₁] равно нулю, то теорема доказана. В противном случае выберем тот из двух полученных отрезков, на концах которого f(x) имеет значения разных знаков. Обозначим его [a₂, b₂]. И т.д. Получим последовательность [a,b]É[a₁, b₁]É[a₂, b₂]É…É[a_n, b_n]É… вложенных отрезков. По теореме о вложенных отрезках $с, принадлежащая всем отрезкам, причем f (с)=0. Ч.т.д. Теорема имеет простой геометрический .смысл. -

2 теор Больцано-Коши. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) = A, f(b) = B. Пусть С – любое число, заключенное между А и В.

Тогда на отрезке [a, b] найдется точка с такая, что f(с) = С.

Д ругими словами, непрерывная функция при переходе от одного значения к другому принимает и все промежуточные значения.

Теор 1 Вейерштрасса. Если функция f(х) определена и непрерывна на отрезке

[a,b], то она ограничена на этом отрезке. Теорема неверна, если отрезок [a, b] заменить интервалом (а, b).

Теор 2 Вейер.. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она

имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее

значения. Разность между наибольшим и наименьшим значениями непрерывной функции f(x) на отрезке [a, b] называется колебанием непрерывной функции.

Ф ункция f(х) называется равномерно- непрерывной на промежутке Х, если для любого e > 0 существует d > 0 такое, что для любых двух точек х₁, х₂ ÎХ, удовлетворяющих неравенству |x₂ – x₁| < d, выполняется неравенство |f(х₂) – f(x₁)| < e.

Теорема Кантора (о равномерной непрерывности) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она и равномерно непрерывна на нем.

14. Производная функции, определение, геометрический смысл. Уравнения касательной и нормали. Правила вычисления производных. Логарифмическая производная. Таблица производных простейших элементарных функций.

П роизводной функции y = f(x) в точке х₀ называется предел при Dх ® 0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).

Е сли для некоторого значения х₀ выполняется условие или , то говорят, что в точке х функция имеет бесконечную производную знака «+» или знака «–». В отличие от бесконечной производной определенную выше производную функции иногда называют конечной производной.

Касательная к кривой – прямая, имеющая с кривой единственную общую точку. Касательной к графику функции y = f(x) в точке М называется предельное положение секущей MN, когда точка N стремится к точке М по кривой f(x).

П роизводная f’(x₀) равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона к положительному направлению оси Ох) касательной к графику функции y = f(x) в точке M(x₀, f(x₀)). При этом Для касательной всегда выполнятся

Е сли взять

Уравнение касательной:

Н ормалью к кривой называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. Для перпендикулярных прямых

Уравнение нормали к кривой:

Е сли функция u = j(x) имеет производную в точке x0, а функция y = f(u) имеет производную в соответствующей точке u0 = j(x0), то сложная функция f [j(x)] имеет производную в точке x0 и справедлива следующая формула

Доказательство: т.к. функция y = f(x) дифференцируема в точке х0, то

Т ак как по условию u = j(x) дифференцируема, то она и непрерывна в точке x0, следовательно при Переходя к пределу в предыдущем равенстве получим

Ввести функцию u(x), так чтобы y = f(u) содержалось в таблице производных. Использовать правила дифференцирования.

Логарифмическая производная