![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •21.2 Вычисление обобщенных сил инерции по Лагранжу, Аппелю и Нильсену
- •21.3 Уравнения Лагранжа, Аппеля, Нильсена
- •21.4 Алгоритм составления уравнений лагранжа (нильсена) и решения задач динамики
- •Лекция №22
- •22.1. Формы записи уравнения движения и их решение.
- •22.1. О движении инерциоидов
- •Лекция №23
- •23.1 Введение
- •23.2 Определение положения равновесия
- •23.3 Устойчивость положения равновесия
- •Лекция №24
- •23.1 Пример на малые колебания механической системы с одной степенью свободы около положения
- •Необходимо, прежде всего, найти уравнение и закон движения груза 1.
- •23.2 О вибромеханике в нгту
- •Лекция № 25
- •25.1 Введение
- •25.2 Постулат максвелла
- •25.3. Первая электромеханическая аналогия
- •25.4. Использование уравнений лагранжа для расчёта чисто электрических систем
- •25.5. Пример использования уравнений лагранжа –
- •Лекция № 26
- •26.1 О динамике уПравЛяЕмых систем. Введение
- •26.1. МеханиКа программных жвижений
- •26.2 Системы с дифференциальными связями
- •27.1. Итоги курса
- •27.2. Неразрушающий удар твёрдых тел как процесс
- •27.3. О достижениях нгту в области изучения ударных процессов и создания ударной испытательной техники
25.2 Постулат максвелла
Известно, что различные процессы движения, происходящие в различных физических системах, описываются часто одинаковыми по виду дифференциальными уравнениями. Это обстоятельство дает возможность устанавливать аналогии между системами различной физической природы.
Впервые, такая аналогия была установлена Максвеллом (последняя треть 19-го века) для механических и электрических систем. Это позволило ему сформулировать для электромеханических систем Постулат Максвелла:
Уравнения
электромеханических систем могут
составляться в
форме
уравнений Лагранжа
(уравнений
Лагранжа – Максвелла),
если считать,
что
,где
Утверждение этого Постулата дало возможность составлять уравнения движения электромеханических систем и решать задачи по алгоритмам механики.
Глубинная суть аналогии заключается в том, что уравнения Лагранжа для механической системы и электрических систем и уравнений Лагранжа – Максвелла для электромеханических и мехатронных систем являются вариационными уравнениями Эйлера вариационного исчисления, созданного гением Леонарда Эйлера.
25.3. Первая электромеханическая аналогия
Рассмотрим и сравним две простейшие механические и электромагнитные системы. Они изображёны на Рис. 25.1 и Рис.25.2.
Здесь:
,
сила вязкого трения
,
-
коэффициент вязкого трения.
-
уравнение движения массы m.
Error: Reference source not found
Рис. 25.1 Рис. 25.2
Запишем 2-й закон Кирхгофа для контура, представленного на Рис.25.2.
Тогда
.
Окончательно
получим:
.
Налицо полная аналогия между механическим и электрическим уравнениями.
Таким
образом,
.
И более того:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Всё это позволяет рассчитывать механические, электрические и электромеханические системы на основе уравнений Лагранжа по одному и тому же алгоритму.
25.4. Использование уравнений лагранжа для расчёта чисто электрических систем
Рассмотрим систему двух связанных контуров, представленных на Рис.17.3. Составим уравнения движения (электрического) по Лагранжу.
S=2эл
Рис 25.3
,
,
(Дж),
(Вт)
Тогда
Перепишем эти уравнения в ПВД:
.
Анализ
уравнений говорит о том, что в системе,
- в первом и втором контурах, происходят
связанные
вынужденные затухающие колебания.
Роль
ЭДС выполняют
в первом контуре -
(внешнее
напряжение и падение напряжения
-
),
во втором –
.
25.5. Пример использования уравнений лагранжа –
– МАКСВЕЛЛА ДЛЯ РАСЧЁТА ЭлектромеханическОЙ
СИСТЕМЫ ТИПА ДАТЧИКА УСКОРЕНИЙ
Рассмотрим электромеханический датчик ускорений, расчётная схема которого представлена на Рис.25.4.
П=0
x
![](/html/2706/180/html__TOPxIbLd6.w7w4/htmlconvd-auKtlj_html_1109c0f4fd803126.gif)
Рис 25.4
Здесь
якорь
массы m
подпёрт
пружинами
общей жёсткости k
и может
перемещаться относительно магнитопровода.
На якорь
действует сила
.
На него намотана катушка
L.
Индуктивности
катушки L=
L(х)
зависит от смещения якоря
,
отсчитываемого из положения, относительно
которого пружины не напряжены.
Электрическая подсистема состоит из
катушки L,
резистора
постоянного сопротивления
,
постоянной
Э.Д. С. -
,
и измерительного
прибора ИП.
Данная электромеханическая система имеет две степени свободы: механическую и электрическую.
1)
.
За обобщенные координаты примем
,
.
2) Запишем уравнения Лагранжа – Максвелла для датчика в общем виде:
.
Здесь L-функция
Лагранжа (не
путать с L(х)!)
3)
4)
,
5)
6)
5).
Обобщенная сила
является, действующей
на якорь силой
.
6).
- это первое уравнение по х.
7).
Запишем полученные уравнения движения электромеханической системы в ПВД:
(*)
Заметим, что используя уравнения Лагранжа – Максвелла, мы достаточно просто получили конечную систему связанных ДУ второго порядка с вынуждающими силами в правой части, где в роли вынуждающих сил выступают как задаваемые силы, так и ЭДС, и еще что-то. Так что же это что то? Разберёмся с этим. Парциальные движения подсистем связаны динамикой: движение по x зависит от движения по q и наоборот. Анализ уравнений с точки зрения физики показывает, что в системе происходит процесс вынужденных колебаний как по x , так и по q.
Попробуем
получить уравнения движения системы
из физических
соображений и
понять смысл неизвестных компонент
правых частей уравнений. Запишем
уравнения
- чистых
парциальных движений
по х
и q.
Что и как
нужно добавить в правые части этих
уравнений, чтобы
получить правильную систему уравнений
(*)? Без
хорошего
знания физики
это сделать трудно!
Нарисуем эквивалентные расчетные схемы электрической и механической взаимодействующих подсистем.
Рис. 25.5
Составим уравнение электрического движения на основе 2-го закона Кирхгофа. Здесь:
,
,
Анализ
выражения показывает, что здесь Э.Д.С.
индукции состоит из дух компонент: из
ЭДС самоиндукции,
равной -
и градиентной
ЭДС= -
,
неизвестной
нам ранее!
Таким
образом,
.
С
электрической
подсистемой
более-менее всё ясно, что не скажешь про
механическую
подсистему.
Составим уравнение её движения. Без
хорошего
знания физики, то есть понимания откуда
берётся последняя компонента
в
и каков её физический
смысл,
составить механическое уравнение в
рамках механики скорее
всего Вам
не удастся! А вот по алгоритму Лагранжа
– Максвелла всё
получается автоматически!
Так что же
это за сила?
Это – градиентная
сила, подобная
градиентной
Э.Д.С.! Откуда
же она взялась? Она появилась при
вычислении производной
как та её часть, которая получилась при
вычислении
,
как следствие
наличия зависимости
.
Таким образом,
.
Здесь
есть ещё один важный аспект.
Есть подобие
и аналогия
между
.
О чём это говорит? – Только о том, что
разделение энергии
чисто
условно, и
происходит только
в наших головах.
И
и
измеряются
в джоулях,
и каждая из
них есть
только часть полной энергии.
То, что в физике высоких энергий давно
стало очевидным, - Вам стало понятно
только сейчас благодаря
электромеханике.
Ясно, что без знания уравнений Лагранжа – Максвелла решение задачи заметно усложнилось бы. Что же мы получили в итоге? А получили нелинейную систему уравнений. Чтобы её далее решить хотя бы численно, приведем её к форме Коши. Запишем
.
Здесь
.
Введём
обозначения:
.
Тогда уравнения движения в форме Коши
примут вид:
Далее её остаётся только проинтегрировать и получить ответ. Это Вы можете сделать на лабораторных работах по информатике.