23.3 Устойчивость положения равновесия

Определив положения, в которых система может находиться в равновесии, нужно определить, какие из этих положений практически реализуемы. Какие из этих положений являются устойчивыми, а какие неустойчивыми. Поясним сказанное на примере. Обычный физический маятник с горизонтальной осью вращения имеет два возможных положения равновесия – верхнее и нижнее. Очевидно, что верхнее положение равновесия маятника практически нельзя осуществить, так как оно неустойчиво, а нижнее положение устойчиво и легко реализуемо.

Вопрос об устойчивости положения равновесия является частным случаем общей задачи об устойчивости движения. Эта задача имеет в прикладной механике большое значение: двигатель должен устойчиво удерживать заданный режим работы. Самолет, ракета, корабль должны устойчиво сохранять заданное направление движения. И т.п.

Прежде чем перейти к исследованию устойчивости равновесия или устойчивости движения, нужно определить эти понятия.

Не нарушая общности, можно считать, что в положении равновесия все обобщенные координаты равны нулю. Для этого, достаточно вести их отсчет от положения равновесия.

Выведем механическую систему из положения равновесия произвольным образом, сообщив небольшие по модулю значения обобщенным координатам и их скоростям. Если, при дальнейшем движении системы, обобщенные координаты и их скорости будут оставаться по модулю малыми величинами, т.е. система не будет далеко отклоняться от положения равновесия, то рассматриваемое положение равновесия будет устойчивым, в противном случае - неустойчивым.

Это определение не является математически точным, но для наших целей оно достаточно. Строгое определение устойчивости движения впервые дано академиком А.М. Ляпуновым (20-й век, Россия).

Сформулируем без доказательства достаточные условия устойчивости равновесия консервативной системы. Они определяются следующей теоремой Лагранжа – Дирихле: “если в положении равновесия консервативной системы с идеальными и стационарными связями потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво”.

Для системы с одной степенью свободы минимум П определятся элементарно. Действительно, в этом случае вторая производная от потенциальной энергии по обобщенной координате, вычисленная в положении равновесия, должна быть положительна, если она существует:

Лекция №24

23.1 Пример на малые колебания механической системы с одной степенью свободы около положения

УСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ

На Рис.24.1 представлена механическая система с одной степенью свободы.

O Дано: , , , , , , .

При t=0: ,

Рис.24.1

1. Необходимо, прежде всего, найти уравнение и закон движения груза 1.

2. Частоту малых свободных колебаний системы.

Решение

Составим уравнения Лагранжа II-го рода для данной консервативной системы и решим задачу по известному алгоритму.

. (*)

Вычислим с точностью до величин второго порядка малости относительно и кинетическую энергию Т, а потенциальную энергию П - с точностью до величин второго порядка малости относительно обобщенной координаты .

1). Запишем кинетическую энергию системы как

2). Проведём кинематический анализ движений частей системы. Выразим скорость центра масс тела 4 и угловые скорости тел 2, 3 и 4 через обобщенную скорость : ; ; ; .

3). Вычислим моменты инерции тел 2, 3, 4 относительно своих осей вращения

; ;

4). Кинетическая энергия тел примет вид:

; ; ;

.

5). Кинетическая энергия всей системы будет равна:

6). Найдем потенциальную энергию системы с точностью до константы в соответствии с Рис.24.2, т.е., фактически, изменение потенциальной энергии относительно положения равновесия каждого из тел системы как:

.

Потенциальная энергия, соответствующая силам тяжести при указанном перемещении, ,

г де и - вертикальные смещения центров тяжести стержня 3 и диска 4, которые вычисляем с точностью до величины второго порядка малости относительно обобщенной координаты .

Здесь , аналогично .

Рис 24.2 Таким образом, .

Потенциальная энергия деформированной пружины при указанном перемещении системы равна .

Здесь - статическая деформация пружины; - перемещение точки прикрепления пружины К, соответствующее координате y. Из Рис.24.2 видно, что . Таким образом, потенциальная энергия системы равна:

Так как в положении равновесия (покоя) ,то . Определив , получим:

Тогда уравнение (*) приобретёт вид:

.

Или (**), здесь - циклическая частота:

Интегрируя уравнение (**), получаем закон движения груза 1:

.

Для определения постоянных и удовлетворим начальным условиям движения груза1: .

При имеем: , . Следовательно, ;

Таким образом груз1 будет совершать движение по закону:

. Задача решена!