Гравитационные силы.

Экспериментально было обнаружено, что между любыми телами действует сила притяжения. Величина этой силы пропорциональна произведению масс взаимодействующих тел и обратно пропорциональна расстоянию между этими телами.

(35)

Это закон всемирного тяготения, коэффициент пропорциональности называется гравитационной постоянной, которая должна быть получена из эксперимента. Действительно ниоткуда не следует, что два тела массой в один килограмм каждое будут притягиваться с 1 Н, если расстояние между ними равно 1 м. Больше того, если считать что в (34) равна единице, то для размерности силы из (34) получим:

(36)

Но мы уже выбрали единицу измерения силы из второго закона Ньютона и размерность у неё (см. (15)). Выход один, гравитационная постоянная является размерной, а размерность её определяется из условия:

(37)

Величину гравитационной постоянной, в отличии от её размерности, теоретически определить нельзя. В настоящее время её значение (полученное из опыта) равно:

(38)

Т.е. известна эта универсальная физическая постоянная с точность до одной сотой процента. В обычной жизни гравитационные силы, кроме силы с которой нас притягивает к себе Земля, заметной роли не играют. Например, если сделать два шара из вольфрама (плотность ) каждый весом в одну тонну, то каждый из шаров будет иметь радиус около 23 см. Если теперь их поднести вплотную друг к другу, то сила взаимодействия между ними будет примерно равна . С такой силой давит на весы пылинка весом тридцать миллиграмм. Ничтожно малая величина по сравнению с весом каждого из шаров. Всё хорошо, но хотелось бы написать силу в векторном виде (сила ведь векторная величина). Это можно сделать если опираться на выражение для величины силы (35), всё что нужно сделать, это умножить величину силы на единичный вектор, который задает направление этой силы:

(39a)

(39b)

Отсюда видно, что так написанные силы притяжения удовлетворяют третьему закону Ньютона.

Гравитационное поле вблизи поверхности Земли. Постоянная сила.

Обратим внимание на то, что закон всемирного тяготения написан для материальных точек. Чтобы написать его для тела конечных размеров действуют так:

1. Разбивают тело на мелкие части, так чтобы каждую часть можно было считать материальной точкой.

2. Суммируют все силы от каждой части тела, которые действуют на материальную точку и находят результирующую силу.

Это является сутью принципа суперпозиции согласно которому, сила с которой тело действует на материальную точку, равна сумме сил, создаваемых каждой частью тела. При изучении электродинамики мы поговорим о принципе суперпозиции подробнее. Здесь же отметим, что если тело имеет форму шара, то из принципа суперпозиции следует, что это тело притягивает материальную точку так, как будто вся масса этого тела сосредоточена в центре этого тела. Отсюда следует, что величина силы, с которой Земля притягивает тело массы , находящееся её поверхности равна.

(40)

Здесь — масса Земли, а — радиус Земли. Если подставить эти значения, то получим:

(41)

На самом деле Земля не совсем круглая, не совсем однородная и не совсем является инерциальной системой отсчета (она вращается). Это приводит к тому, что на разных широтах и в разных местах Земли ускорение свободного парения несколько различаются. Для примера в Берлине — g = 9,81280 см., в Москве — ну а Токио — . И ещё один вопрос, «Как изменяется ускорение свободного падения, если тело находится на некотором расстоянии ( ) над поверхностью Земли. В этом случае можно написать:

(42)

Из этой формулы видно, что для расстояний над поверхностью Земли малых по сравнению с радиусом Земли ускорение свободного падения уменьшается слабо. Например, для , получаем:

(43)

Таким образом, в широком интервале высот над поверхностью Земли поле земного притяжения можно считать постоянным и направленным к центру Земли. Мы будем пользоваться значением . Другие примеры, когда сила, действующая на материальную точку является постоянной, будут рассмотрены в электродинамике. И наконец, почему мы называем ускорением свободного падения? Да очень просто. Достаточно написать уравнение движения тела, на которое действует только сила притяжения Земли, т.е. второй закон Ньютона в проекции на ось направленную к центру Земли.

(44)