Третий закон Ньютона.

Третий закон Ньютона устанавливает связь между силами, с которыми два тела действуют друг на друга. Согласно этому закону:

Силы, с которыми две материальные точки действуют друг на друга, всегда равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки.

(16)

Иногда говорят, что сила действия равна силе противодействия. Здесь нужно четко понимать, что силы и приложены к разным телам.

В заключение отметим, что:

1. Второй закон Ньютона справедлив во всех инерциальных системах отсчета и только в них.

2. Любая инерциальная система движется с постоянной скоростью относительно гелиоцентрической системы отсчета.

3. В неинерциальных системах отсчета могут появиться силы, происхождение которых нельзя объяснить действием других тел.

4. Для определения закона движения материальной точки необходимо знать начальную скорость и начальное положение материальной точки.

Принцип относительности Галилей говорит о том, что законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

Закон сохранения импульса.

До этого момента мы говорили о движении материальной точки. Сейчас остановимся на вопросе о том, как можно описать движется нескольких материальных точек. Чтобы подойти к решению этой задачи потребуется ввести понятие импульса материальной точки и системы материальных точек:

1. Импульсом (моментом количества движения) материальной точки называется произведение массы этой точки на ее скорость:

   (17)

2. Импульс системы материальных точек равен сумме импульсов материальных точек входящих в рассматриваемую систему:

(18)

Почему естественно ввести понятие импульса материальной точки? Да потому, что второй закон Ньютона указывает на то, что под действием силы изменяется именно импульс:

(19)

А достаточно ли знать насколько большой должна быть сила, для того, чтобы дать ответ на вопрос о том, как изменится импульс? Для ответа на этот вопрос проинтегрируем уравнение (19) по времени:

(20)

Отсюда мы видим, что изменение импульса равно интегралу от силы за время её действия. Т.е. если мы хотим получить большое изменение импульса тела (в конечном счете, скорости) то нужно либо действовать не очень большой силой, но долго, либо достаточно большой силы, которая действует недолго. Интеграл по времени от силы называется импульсом силы:

(21)

Единица измерения импульса силы: , т.е. такая же, как и единица импульса (это сразу видно из равенства (20)). Рассмотрим простой пример. Пусть футбольный мяч весит 0.5 кг, удар по мячу длится , а сила изменяется по закону и мяч после удара летит с начальной скорость 108 км/ч. Найдем импульс силы, среднюю силу и максимальную силу действующие на мяч.

Переводим скорость в м/с (потому, что используем систему СИ)

Находим момент сил через изменение импульса (20) , а средняя сила равна . А сколько это один Ньютон, много или мало? Если приближенно считать ускорение свободного падения 9.8 м/с, то 100 г давят на весы с силой (весят) . Т.е. около одного Ньютона.

Вернемся к импульсу. Из уравнения (20) можно сказать, что именно импульс является мерой количества движения материальной точки, поскольку именно эта величина напрямую (без всяких множителей) изменяется за счет действия внешних сил. Поэтому можно надеяться, что понятие импульса поможет разобраться с движением системы материальных точек. Начнем с самого простого случая. Рассмотрим систему, состоящую из двух материальных точек, которые взаимодействуют между собой и с другими телами, называемыми внешними (по отношению к рассматриваемой системы). Движением внешних тел мы не интересуемся, и они для нас являются только источником сил. В этом случае второй закон Ньютона удобно записать в виде:

	(22a)
	(22b)

Здесь — сила, с которой частица 2 действует на частицу 1, и — сила, с которой частица 1 действует на частицу 2. Сложим эти два уравнения и получим

(23)

И з третьего закона Ньютона (см. (16)) следует . И тогда если система называется замкнутой и

(24)

Если же наша система состоит из N частиц, выкладки оказываются немного подлиннее, а ответ тот же:

(23)

Если теперь опять учесть третий закон Ньютона, то внутренние силы взаимно уничтожаются и приходим к выводу, что изменение полного импульса системы происходит за счет внешних сил:

(24)

Если сумма внешних сил равна нулю, то система называется замкнутой. Из уравнения (24) следует, что импульс замкнутой системы сохраняется:

(25)

Уравнение (25) выражает закон сохранения импульса. Здесь уместно сделать ряд замечаний:

Поскольку импульс является векторной величиной, то фактически в законе сохранения импульса речь идет о сохранении трех проекций импульса (т.е. о трех законах сохранения):

(25)

Может оказаться, что равна нулю только проекция внешних сил на какую-то ось. Тогда сохраняется только проекция импульса на эту ось.

При получении закона сохранения импульса суммировались силы, приложенные к разным точкам (материальным) системы. К чему это может приводить мы увидим позднее, а сейчас заметим, что под действием внешних сил, сумма которых равна нулю, движение системы может быть очень сложным. Так, например, в замкнутой системе двух точек одинаковой массы m закон движения может иметь следующий вид:

	(26a)
	(26b)

При этом легко проверить, что суммарный импульс равен нулю:

(25)

Легко понять, что это случай когда частицы не взаимодействуют друг с другом. В качестве другого примера поведения системы двух частиц с равными массами можно привести следующий закон движения:

	(27a)
	(27b)

Легко видеть, что и в этом случае импульс системы нулевой:

	(28a)
	(28b)
	(28c)

Таким образом, относительное движение внутри системы может быть как угодно сложным, но не произвольным, а таким, чтобы полный импульс системы сохранялся, если конечно система замкнута. Обратим внимание на еще одну особенность приведенных примеров. В обоих случаях постоянной остаётся следующая величина:

(29)

Покажем, что это не случайно. Для этого введем радиус-вектор центра масс системы:

(30)

Здесь — масса системы. Если взять производную по времени, то получим:

(31)

Здесь — скорость центра масс системы, а — полный импульс системы. Если переписать это соотношение немного в другом виде,

(31)

Т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость центра масс системы (сравните с таким же выражением для материальной точки (17)). Но аналогию можно провести и дальше:

(32)

Если система замкнута , то

(33)

Таким образом, центр масс системы движется как материальная точка под действием силы, которая равна сумме масс внешних сил (пусть даже приложенным к разным точкам системы) (32). В случае замкнутой системы центр масс системы движется с постоянной скоростью, величина которой равна импульсу системы, делённому на массу системы. Ещё несколько замечаний о законе сохранения и центре масс системы:

1. Центр масс какого-либо тела совсем не обязательно совпадает с какой-нибудь точкой этого тела. Он может находиться и за пределами тела. Например, у кольца центр масс находится в середине кольца. Таких примеров можно привести очень много.

2. Как правило, движение замкнутой системы удобно рассматривать в системе отсчета, которая имеет начало в точке центра масс и движется со скоростью равной скорости центра масс (для замкнутой системы эта скорость постоянна (33)).

3. Закон сохранения импульса связан с однородностью пространства. Мы не будем это доказывать, но для дальнейшего развития физики понимание этого оказалось очень важным. Это является частным случаем знаменитой теоремы Эмми Нетер. А однородность пространства означает, что законы одинаковы для разных точек пространства.

4. В конечном счете, закон сохранения импульса позволяет рассчитать, как движется ракета, дать рекомендации по оптимизации работы двигателя и много чего. Да вот самый простой пример: «Пусть два пластилиновых шарика массами и , и скоростями и сталкиваются, слипаются и движутся как одно целое. Из закона сохранения импульса скорость этого целого куска легко находится без всяких предположений о характере взаимодействия»:

(34)