Геометрическая вероятность
Рассмотрим
какую-нибудь область
на прямой, на плоскости, в пространстве.
Предположим, что "мера"
(длина, площадь, объем соответственно)
конечна. Пусть случайный эксперимент
состоит в том, что мы наудачу бросаем в
эту область точку. Термин "наудачу"
означает, что вероятность попадания
точки в любую часть
не зависит от формы или расположения
внутри
,
а зависит лишь от "меры" области
Для такого эксперимента вероятности
определяются согласно геометрическому
определению вероятности:
(2.3)
Если
для точки, брошенной в область
выполнены условия геометрического
определения вероятности, то говорят,
что точка равномерно
распределена
в области
Пример
18.
Точка наудачу бросается на отрезок
Вероятность ей попасть в точку
равна нулю, так как равна нулю мера
множества, состоящего из одной точки
("длина точки"). Но попадание в точку
не является невозможным событием - это
один из элементарных исходов.
Пример
19. (задача о встрече)
Два человека
и
условились
встретиться в определенном месте между
двумя и тремя часами дня. Пришедший
первым ждет другого в течение
минут, после чего уходит. Чему равна
вероятность встречи этих лиц, если
каждый из них может прийти в любое время
в течение указанного часа независимо
от другого?
Решение.
Будем считать интервал от двух до трех
часов дня отрезком
Обозначим через
и
моменты прихода
и
в течение этого часа (рис.
2.2).
Результатами эксперимента являются
всевозможные пары точек
из единичного квадрата:
Благоприятными исходами будут точки заштрихованного на рисунке множества :
Попадание в множество наудачу брошенной в квадрат точки означает, что и встретятся.
Рис. 2.2. Задача о встрече
Тогда
вероятность встречи равна отношению
площадей множеств
и
