"Вероятность события равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу равновозможных исходов".
Итак, вычисление вероятности в классической схеме сводится к подсчету общего числа исходов (шансов) и числа исходов, благоприятствующих событию. Число шансов вычисляют с помощью формул комбинаторики.
Рассмотрим
стандартные урновые схемы: из
шаров
выбирают
шаров.
Будем исходить из предположения о том,
что появление любого шара равновозможно.
Тогда три схемы: схема выбора с возвращением
и с учетом порядка, выбора без возвращения
и с учетом порядка, а также выбора без
возвращения и без учета порядка,
описываются классической вероятностной
моделью. Общее число равновозможных
элементарных исходов в этих схемах
равно соответственно
и
Как показывает следующий пример, последняя схема - схема выбора с возвращением и без учета порядка - имеет неравновозможные исходы. Поэтому классическое определение вероятности для нее не применимо.
Пример
14.
Рассмотрим выбор двух шариков из двух
или, что то же самое, дважды подбросим
монету. Если учитывать порядок, то
исходов получится четыре, и они
равновозможны, т.е. имеют вероятности
по
Если порядок не учитывать, то следует объявить два последних исхода одним и тем же результатом эксперимента и получить три исхода:
Первые
два исхода имеют вероятности по
а
вероятность последнего равна
Видим,
что при выборе с возвращением и без
учета порядка элементарные исходы
оказываются неравновозможными.
В следующем примере разобрана классическая задача, приводящая к так называемому гипергеометрическому распределению.
Пример
15.
Из урны, в которой
белых
и
черных
шаров, наудачу и без возвращения вынимают
шаров,
где
(рис.
2.1).
Термин "наудачу" означает, что
появление любого набора из
шаров
равновозможно. Найти вероятность того,
что будет выбрано
белых
и
черных
шаров.
Рис. 2.1. Выбор n шаров из N
Решение.
Результат эксперимента - набор из
шаров.
Можно не учитывать порядок следования
шаров в наборе. Общее число элементарных
исходов по теореме 3 равно
Обозначим через
событие,
состоящее в том, что в наборе окажется
белых
шаров и
черных.
Пусть
и
иначе
Есть ровно
способов выбрать
белых
шаров из
и
способов
выбрать
черных
шаров из
Каждый
возможный набор выбранных белых шаров
можно комбинировать с каждым возможным
набором черных. По теореме о перемножении
шансов число благоприятных исходов
равно
,
и вероятность события
такова:
|
(2.2) |
Вычисляя
вероятность событий
мы сопоставили каждому набору из
белых
и
черных
шаров вероятность получить этот набор
при выборе шаров из урны. Набор вероятностей
(2.2) называется гипергеометрическим
распределением вероятностей.
Здесь мы встретились с термином "распределение" вероятностей. Это слово всегда обозначает некий способ разделить (распределить) общую единичную вероятность между какими-то точками или множествами {на вещественной прямой}.
Пример 16. На пяти карточках написаны буквы А, А, Л, М, П. Найти вероятность того, что при случайной расстановке этих карточек в ряд получится слово ЛАМПА.
Решение.
Всего возможно
перестановок карточек. Заметим, что
перестановка двух карточек с буквой А
не меняет слова. Поэтому есть два
благоприятных исхода:
и
Вероятность
получить нужное слово равна
Пример 17. Игральная кость подбрасывается трижды. Найти вероятность получить в сумме четыре очка.
Решение.
Общее число равновозможных элементарных
исходов есть
Сумма очков равна четырем, если на двух
костях выпали единицы, и на одной -
двойка. Этому событию благоприятствуют
три элементарных исхода:
Поэтому искомая вероятность равна
Результаты многих экспериментов нельзя описать дискретным множеством точек. Например, бросание монеты на стол в примере 4 приводит к пространству элементарных исходов, совпадающему с множеством точек стола. Дальность броска копья спортсменом - величина с положительными значениями на числовой прямой, и т.д. Рассмотрим один из способов задания вероятностей на таком пространстве исходов.